Question

設(shè)F₁、F₂分別為橢圓C：+=1(a＞b＞0)的左、右兩個(gè)焦點(diǎn).

（1）若橢圓C上的點(diǎn)A（1,）到F₁、F₂兩點(diǎn)的距離之和等于4，寫出橢圓C的方程和焦點(diǎn)坐標(biāo).

（2）設(shè)點(diǎn)K是（1）中所得橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，求線段F₁K的中點(diǎn)的軌跡方程.

（3）已知橢圓具有性質(zhì)：若M、N是橢圓C上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩個(gè)點(diǎn)，點(diǎn)P是橢圓上任意一點(diǎn)，當(dāng)直線PM、PN的斜率都存在，并記為k_PM、k_PN時(shí)，那么k_PM與k_PN之積是與點(diǎn)P位置無(wú)關(guān)的定值，試寫出雙曲線=1具有類似特性的性質(zhì)并加以證明.

Answer 1

分析:由已知條件可寫出橢圓方程及代入法求軌跡，本題不是直接證明橢圓中的性質(zhì)，而是類似地轉(zhuǎn)化到雙曲線中證明雙曲線具有的性質(zhì),用斜率公式及雙曲線方程即可得證.

解:（1）橢圓C的焦點(diǎn)在x軸上，由橢圓上的點(diǎn)A到F₁、F₂兩點(diǎn)的距離之和是4，得2a=4，即a=2.

又點(diǎn)A（1，）在橢圓上，因此+=1,b²=3.

∴c²=a²-b²=1.

∴橢圓C的方程為+=1,焦點(diǎn)F₁（-1，0），F(xiàn)₂（1，0）.

(2)設(shè)橢圓C上的動(dòng)點(diǎn)為K(x₁,y₁)，線段F₁K的中點(diǎn)Q（x,y）滿足x=,y=,

∴x₁=2x+1,y₁=2y.

∴+=1,即（x+）²+=1為所求的軌跡方程.

（3）類似的性質(zhì)為：若M、N是雙曲線=1上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩個(gè)點(diǎn)，點(diǎn)P是雙曲線上任意一點(diǎn)，當(dāng)直線PM、PN的斜率都存在，并記為k_PM、k_PN時(shí)，那么k_PM與k_PN之積是與點(diǎn)P位置無(wú)關(guān)的定值.設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（m,n），則點(diǎn)N的坐標(biāo)為（-m,-n），其中=1.

又設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x,y），由k_PM=,

k_PN=,得k_PM·k_PN=·=.

將y²=x²-b²,n²=m²-b²,代入得k_PM·k_PN=.

綠色通道

    類比定義和性質(zhì)是中學(xué)數(shù)學(xué)中最�？疾榈囊活悊�(wèn)題，它能很好地培養(yǎng)學(xué)生探索問(wèn)題的能力，應(yīng)該給予足夠的重視.有興趣的同學(xué)也可證明橢圓具有的性質(zhì).類比是研究圓錐曲線的一種方法.