Question

過拋物線C：x²=4y的焦點F作直線l，交C于A，B兩點．若F恰好為線段AB的三等分點，則直線l的斜率k=

2

4

或-

2

4

．

Answer 1

分析：由拋物線C：x²=4y得焦點F（0，1）．設A(x1，

x 2 1

4

)，B(x2，

x 2 2

4

)．由于F恰好為線段AB的三等分點，利用向量可得

AF

=2

FB

，或

AF

=

1

2

FB

．即可得到橫坐標之間的關系．另一方面可得直線l的方程為y=kx+1，與拋物線的方程聯立即可得到根與系數的關系，即可解出k的值．

解答：解：由拋物線C：x²=4y得焦點F（0，1）．
設A(x1，

x 2 1

4

)，B(x2，

x 2 2

4

)．∵F恰好為線段AB的三等分點，∴

AF

=2

FB

，或

AF

=

1

2

FB

．
①當

AF

=2

FB

時，得-x₁=2x₂，由直線l的方程為y=kx+1，與拋物線方程聯立得

y=kx+1 x2=4y

，消去y得到x²-4kx-4=0，得到x₁+x₂=4k，x₁x₂=-4．
聯立

-x1=2x2 x1+x2=4k x1x2=-4

，解得k=±

2

4

．
②當

AF

=

1

2

FB

時，同上，k=±

2

4

．
故答案為±

2

4

．

點評：本題綜合考查了拋物線的標準方程及其性質、直線與拋物線的相交關系、根與系數的關系、向量的共線、三等分點等基礎知識與基本技能，考查了推理能力和計算能力．