Question

（本小題滿分13分）已知橢圓C的中心在圓點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，F(xiàn)₁，F(xiàn)₂分別是橢圓C的左、右焦點(diǎn)，M是橢圓短軸的一個(gè)端點(diǎn)，過F₁的直線與橢圓交于A，B兩點(diǎn)，的面積為4，的周長為（I）求橢圓C的方程；（II）設(shè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（1，0），是否存在橢圓上的點(diǎn)P及以Q為圓心的一個(gè)圓，使得該圓與直線PF₁，PF₂都相切，若存在，求出P點(diǎn)坐標(biāo)及圓的方程；若不存在，請(qǐng)說明理由。

 

Answer 1

【答案】

（I） 由題意知：，解得

       ∴ 橢圓的方程為       …………………………  5分

       （II）假設(shè)存在橢圓上的一點(diǎn)，使得直線與以為圓心的圓相切，則到直線的距離相等,

       ：  ，：      

       化簡整理得： …  9分

       ∵ 點(diǎn)在橢圓上，∴    解得： 或 （舍） …… 11分

       時(shí)，，，∴ 橢圓上存在點(diǎn)，其坐標(biāo)為或，使得直線與以為圓心的圓相切  ……………… 13分

 

【解析】略