Question

把正奇數(shù)列{2n-1}中的數(shù)按上小下大，左小右大的原則排列成如圖“三角形”所示的數(shù)表。設(shè)是位于這個(gè)三角形數(shù)表中從上往下數(shù)第行，從左向右數(shù)第個(gè)數(shù)。

（1）若，求m，n的值；
（2）已知函數(shù)的反函數(shù)為，若記三角形數(shù)表中從上往下數(shù)第n行各數(shù)的和為。
①求數(shù)列的前n項(xiàng)的和。
②令，設(shè)的前n項(xiàng)之積為，求證：。

Answer 1

解：（1）∵，
∴2009是正奇數(shù)列的第1005個(gè)數(shù)。
前m-1行共有個(gè)數(shù)，
前m行共有個(gè)數(shù)。
∴，解得m=45，
前44行共有個(gè)數(shù)，故n=15。
（2）①由，得，
∵第n行第1個(gè)數(shù)為，
∴，
∴，
∴，
，
兩式相減，得，
∴。
②，
∴，
即證：，
先證，
1°當(dāng)n=1時(shí)，顯然成立；
2°假設(shè)n=k時(shí)，，
則當(dāng)n=k+1時(shí)，


，
即當(dāng)n=k+1時(shí)，結(jié)論成立。
由1°，2°知，成立，
從而
      ，
即 得證。