Question

已知為橢圓：的左、右焦點，過橢圓右焦點F₂斜率為（）的直線與橢圓相交于兩點，的周長為8，且橢圓C與圓相切。
（1）求橢圓的方程；
（2）設(shè)為橢圓的右頂點，直線分別交直線于點，線段的中點為，記直線的斜率為，求證為定值．

Answer 1

（1） （2）= 證明詳見解析．

試題分析：（1）由的周長為8，可得4a=8，又由橢圓C與圓相切，可得b²=3，即可求得橢圓的方程為．
（2）設(shè)過點 的直線方程為：，設(shè)點，點，將直線方程代入橢圓中，整理可得關(guān)于x的一元二次方程，該方程由兩個不等的實數(shù)根，其判別式恒大于零，求出，的表達式，由點斜式分別寫出直線AE，AF的方程，然后求出點M，N的坐標，在求出點P的坐標，由兩點的斜率公式求出直線 的斜率，整理即可求得=．
（1）由題意得       3分
所求橢圓C的方程為．        4分
（2）設(shè)過點 的直線方程為：，
設(shè)點，點                                                 5分
將直線方程代入橢圓
整理得：                                   6分
因為點在橢圓內(nèi)，所以直線和橢圓都相交，恒成立，
且                                       7分
直線的方程為：，直線的方程為：
令，得點，，
所以點的坐標                                          9分
直線 的斜率為
                   11分
將代入上式得：

所以為定值