Question

已知函數(shù)

（1）討論函數(shù)f (x)的極值情況；

（2）設(shè)g (x) = ln (x + 1)，當(dāng)x₁>x₂>0時(shí)，試比較f (x₁ – x₂)與g (x₁ – x₂)及g (x₁) –g (x₂)三者的大小；并說明理由．(參考公式: )

 

Answer 1

【答案】

（1）f (x)有極小值f (0) = 0，f (x)有極大值

（2）f (x₁ – x₂)> g (x₁ – x₂) > g (x₁) –g (x₂)

【解析】（1）當(dāng)x>0時(shí)，f (x) = e^x – 1在(0，+∞)單調(diào)遞增，且f (x)>0；

    當(dāng)x≤0時(shí)，．

    ①若m = 0，f ′(x) = x²≥0, f (x) =在(–∞，0]上單調(diào)遞增，且f (x) =．

    又f (0) = 0，∴f (x)在R上是增函數(shù)，無極植；

    ②若m<0，f ′(x) = x(x + 2m) >0，則f (x) =在(–∞，0)單調(diào)遞增，同①可知f (x)在R上也是增函數(shù)，無極值；…………………………………………4分

    ③若m>0，f (x)在(–∞，–2m]上單調(diào)遞增，在(–2m，0)單調(diào)遞減，

    又f (x)在(0, +∞)上遞增，故f (x)有極小值f (0) = 0，f (x)有極大值． 6分

    （2）當(dāng)x >0時(shí)，先比較e^x – 1與ln(x + 1)的大小，

    設(shè)h(x) = e^x – 1–ln(x + 1)   (x >0)   ∴恒成立

    ∴h(x)在(0，+∞)是增函數(shù)，h(x)>h (0) = 0

    ∴e^x – 1–ln(x + 1) >0即e^x – 1>ln(x + 1)  也就是f (x) > g (x) ，成立．

    故當(dāng)x₁ – x₂>0時(shí)，f (x₁ – x₂)> g (x₁ – x₂)……………………10分

    再比較與g (x₁) –g (x₂) = ln(x₁ + 1) –ln(x₂ + 1)的大小．

    =

       ∴g (x₁ – x₂) > g (x₁) –g (x₂)

    ∴f (x₁ – x₂)> g (x₁ – x₂) > g (x₁) –g (x₂) ．…………………14分