Question

已知?jiǎng)狱c(diǎn)P（x，y）與兩定點(diǎn)M（-1，0），N（1，0）連線的斜率之積等于常數(shù)λ（λ≠0）．
（1）求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡C的形狀；
（2）試根據(jù)λ的取值情況討論軌跡C的形狀；
（3）當(dāng)λ=-2時(shí)，過(guò)E（1，0）作兩條互相垂直直線l₁、l₂，且分別與軌跡C交于A、B兩點(diǎn)，探究直線AB是否過(guò)定點(diǎn)？若過(guò)定點(diǎn)，請(qǐng)求出定點(diǎn)坐標(biāo)；否則，說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）由題設(shè)知直線PM與PN的斜率存在且均不為零，所以kPM•kPN=

y

x+1

•

y

x-1

=λ，由此能夠?qū)С鰟?dòng)點(diǎn)P的軌跡C的方程．
（2）當(dāng)λ＞0時(shí)，軌跡C為中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線（除去頂點(diǎn)）；當(dāng)-1＜λ＜0時(shí)，軌跡C為中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上的橢圓（除去長(zhǎng)軸兩個(gè)端點(diǎn)）；當(dāng)λ=-1時(shí)，軌跡C為以原點(diǎn)為圓心，1的半徑的圓除去點(diǎn)（-1，0），（1，0）；當(dāng)λ＜-1時(shí)，軌跡C為中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在y軸上的橢圓（除去短軸的兩個(gè)端點(diǎn)）．
（3）當(dāng)λ=-2時(shí)，軌跡C的橢圓x2+

y2

2

=1（x≠±1），由題意知，由題意知，l₁的斜率存在，設(shè)l₁的方程為y=k（x-1），設(shè)l₂的方程為y=-

1

k

（x-1），代入橢圓方程中整理得（x-1）[（k²+2）x-k²]=0，由此入手能夠求出直線AB的方程，最后根據(jù)直線的方程得出它過(guò)定點(diǎn)．

解答：解：（1）由題設(shè)知直線PM與PN的斜率存在且均不為零
所以kPM•kPN=

y

x+1

•

y

x-1

=λ，
整理得x2-

y2

λ

=1（λ≠0，x≠±1）（3分）
（2）①當(dāng)λ＞0時(shí)，軌跡C為中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線（除去頂點(diǎn)）
②當(dāng)-1＜λ＜0時(shí)，軌跡C為中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上的橢圓（除去長(zhǎng)軸兩個(gè)端點(diǎn)）
③當(dāng)λ=-1時(shí)，軌跡C為以原點(diǎn)為圓心，1的半徑的圓除去點(diǎn)（-1，0），（1，0）
④當(dāng)λ＜-1時(shí)，軌跡C為中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在y軸上的橢圓（除去短軸的兩個(gè)端點(diǎn)）（7分）
（3）當(dāng)λ=-2時(shí)，軌跡C的橢圓x2+

y2

2

=1（x≠±1）
由題意知，l₁的斜率存在
設(shè)l₁的方程為y=k（x-1），設(shè)l₂的方程為y=-

1

k

（x-1），
將l₁的方程代入橢圓方程中整理得
（x-1）[（k²+2）x-k²]=0（*）
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則x₁，x₂的方程（*）的兩個(gè)實(shí)根，
則x₁=

k2-2

k2+2

，∴y₁=

-4k

k2+2

，即A（

k2-2

k2+2

，

-4k

k2+2

），
同理，得B（

1-2k 2

2k2+1

，

4k

2k2+1

），
∴直線AB的斜率為k_AB=

4k 2k2+1 -( -4k k2+2 )

1-2k 2 2k2+1 - k2-2 k2+2

=

3k

1-k2

（k≠±1）
∴直線AB的方程為：y+

4k

k2+2

=

3k

1-k2

（x-

k2-2

k2+2

），
化簡(jiǎn)得：y=

3k

1-k2

（x+

1

3

），它恒過(guò)點(diǎn)（-

1

3

，0）
k=±1時(shí)，直線AB也過(guò)點(diǎn)（-

1

3

，0）．
∴直線AB過(guò)點(diǎn)（-

1

3

，0）．（13分）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線和圓錐曲線的綜合運(yùn)用，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意分類討論思想和均值不等式的合理運(yùn)用．