Question

在邊長為1的正方形ABCD中，E為AB的中點(diǎn)，P為以A為圓心，AB為半徑的圓在正方形內(nèi)的圓弧上的任意一點(diǎn)，設(shè)向量

AC

=λ

DE

+μ

AP

．
（Ⅰ）求點(diǎn)（μ，λ）的軌跡方程（不需限制變量取值范圍）；
（Ⅱ）求λ+μ的最小值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）首先以A為原點(diǎn)，以AB所在的為x軸，建立坐標(biāo)系，設(shè)正方形ABCD的邊長為1，求出相應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)，設(shè)出P點(diǎn)坐標(biāo)，利用向量相等得坐標(biāo)的關(guān)系，消掉參數(shù)θ后得點(diǎn)（μ，λ）的軌跡方程；
（Ⅱ）把λ，μ用含有θ的表達(dá)式表示，然后由題意得到θ的范圍，最終確定當(dāng)cosθ取得最大值1時(shí)，同時(shí)sinθ取得最小值0，這時(shí)λ+μ取最小值．

解答：解：（Ⅰ）如圖，
以A為原點(diǎn)，以AB所在的為x軸，建立坐標(biāo)系，設(shè)正方形ABCD的邊長為1，
設(shè)E（

1

2

，0），C（1，1），D（0，1），A（0，0）．
設(shè)P（cosθ，sinθ），∴

AC

=（1，1）．
由向量

AC

=λ

DE

+μ

AP

=λ（

1

2

，-1）+μ（cosθ，sinθ）
=（

λ

2

+μcosθ，-λ+μsinθ）=（1，1），
∴

λ

2

+μcosθ=1，-λ+μsinθ=1，
即μcosθ=1-

λ

2

  ①，
μsinθ=1+λ  ②．
①²+②²得：5λ²+4λ-4μ²+8=0；
（Ⅱ）由

λ

2

+μcosθ=1，-λ+μsinθ=1，
∴

λ= 2sinθ-2cosθ sinθ+2cosθ μ= 3 sinθ+2cosθ

，
∴λ+μ=

2sinθ-2cosθ+3

sinθ+2cosθ

，
由題意可知：0≤θ≤

π

2

，∴0≤sinθ≤1，0≤cosθ≤1，
∴當(dāng)cosθ取得最大值1時(shí)，同時(shí)sinθ取得最小值0，這時(shí)λ+μ取最小值為

0-2+3

0+2

=

1

2

．
∴λ+μ的最小值為

1

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了軌跡方程，求解的方法是由向量坐標(biāo)相等得到關(guān)于λ，μ及P點(diǎn)坐標(biāo)中的量θ的關(guān)系式，考查了參數(shù)方程及利用三角函數(shù)求最值，屬中高檔題．