Question

已知點(diǎn)(1，

1

3

)是函數(shù)f（x）=a^x（a＞0，且a≠1）的圖象上一點(diǎn)．等比數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為f（n）-1．?dāng)?shù)列{b_n}（b_n＞0）的首項(xiàng)為1，且前n項(xiàng)和s_n滿足sn-sn-1=

sn

+

sn_1

(n≥2)
（1）求數(shù)列{a_n}和{b_n}的通項(xiàng)公式；
（2）若數(shù)列{

1

bnbn_1

}的前n項(xiàng)和為T(mén)_n，問(wèn)滿足T_n＞

1000

2012

的最小正整數(shù)n是多少？

Answer 1

分析：（1）由點(diǎn)(1，

1

3

)是函數(shù)f（x）=a^x（a＞0，且a≠1）的圖象上一點(diǎn)，知f(1)=a=

1

3

，所以f(x)=(

1

3

)x，由此能求出數(shù)列{a_n}和{b_n}的通項(xiàng)公式．
（2）Tn=

1

b1b2

+

1

b2b3

+

1

b3b4

+…+

1

bnbn+1

=

1

1×3

+

1

3×5

+

1

5×7

+…+

1

(2n-1)×(2n+1)

，利用裂項(xiàng)求和法能夠求出滿足Tn＞

1000

2012

的最小正整數(shù)．

解答：解：（1）∵點(diǎn)(1，

1

3

)是函數(shù)f（x）=a^x（a＞0，且a≠1）的圖象上一點(diǎn)，
∴f(1)=a=

1

3

，
∵等比數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為f（n）-1，f(x)=(

1

3

)x，
a1=f(1)-1=-

2

3

，
a₂=[f（2）-1]-[f（1）-1]=-

2

9

，
公比q=

a2

a1

=

1

3

，
所以an=-

2

3

(

1

3

)n-1=-2(

1

3

)n，n∈N^*；…（3分）
∵Sn-Sn-1=(

Sn

-

Sn-1

)(

Sn

+

Sn-1

)=

Sn

+

Sn-1

（n≥2）
又b_n＞0，

Sn

＞0，
∴

Sn

-

Sn-1

=1；
∴數(shù)列{

Sn

}構(gòu)成一個(gè)首相為1公差為1的等差數(shù)列，

Sn

=1+(n-1)×1=n，Sn=n2
當(dāng)n≥2，bn=Sn-Sn-1=n2-(n-1)2=2n-1；
∴b_n=2n-1（n∈N^*）．…（7分）
（2）Tn=

1

b1b2

+

1

b2b3

+

1

b3b4

+…+

1

bnbn+1

=

1

1×3

+

1

3×5

+

1

5×7

+…+

1

(2n-1)×(2n+1)

=

1

2

(1-

1

3

)+

1

2

(

1

3

-

1

5

)+

1

2

(

1

5

-

1

7

)+…+

1

2

(

1

2n-1

-

1

2n+1

)
=

1

2

(1-

1

2n+1

)=

n

2n+1

，…（10分）
由Tn=

n

2n+1

＞

1000

2012

得n＞

500

6

…（13分）
滿足Tn＞

1000

2012

的最小正整數(shù)為84．…（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法，考查數(shù)列的前n項(xiàng)和的求法和應(yīng)用，解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意裂項(xiàng)求和法的合理運(yùn)用．