Question

已知f（x）是定義在[-2，2]上的函數(shù)，且對任意實(shí)數(shù)x₁，x₂（x₁≠x₂），恒有

f(x1)-f(x2)

x1-x2

＜0，且f（x）的最大值為1，則滿足f（lo

g

x 2

）＜1的解集為

(

1

4

，4]

．

Answer 1

分析：由題意，得f（x）是定義在[-2，2]上的減函數(shù)，可得f（lo

g

x 2

）＜1即f（lo

g

x 2

）＜f（-2），結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性轉(zhuǎn)化為-2＜lo

g

x 2

≤2，解之即可得到所求的解集．

解答：解：∵對任意實(shí)數(shù)x₁，x₂（x₁≠x₂），恒有

f(x1)-f(x2)

x1-x2

＜0，
∴f（x）是定義在[-2，2]上的減函數(shù)，得函數(shù)的最大值為f（-2）=1
∴f（lo

g

x 2

）＜1即f（lo

g

x 2

）＜f（-2）
結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性，得lo

g

x 2

＞-2，即lo

g

x 2

＞log2

1

4

，解之得x＞

1

4

又∵f（x）定義在[-2，2]上，
∴lo

g

x 2

∈[-2，2]，解之得

1

4

≤x≤4
取交集，得

1

4

＜x≤4，原不等式的解集為(

1

4

，4]
故答案為：(

1

4

，4]

點(diǎn)評：本題給出抽象函數(shù)，在已知單調(diào)性的情況下求解不等式，著重考查了對數(shù)的運(yùn)算法則和函數(shù)的單調(diào)性等知識，屬于中檔題．