Question

某城市有一條公路自西向東通過(guò)市中心O后轉(zhuǎn)向東北方向OB,現(xiàn)要修建一條鐵路L,并在OA上設(shè)一站A,在OB上設(shè)一站B,鐵路在AB部分為直線段,現(xiàn)要求市中心O與AB的距離為10 km,問(wèn)把A、B分別設(shè)在公路上離中心O多遠(yuǎn)處才能使|AB|最短,并求出最短距離.

Answer 1

解:在△AOB中,設(shè)OA=a,OB=b,

∵AO為正東方向,OB為東北方向,

∴∠AOB=135°.

∴|AB|²=a²+b²-2abcos135°=a²+b²+ab.

    又O到AB的距離為10,

    設(shè)∠OAB=α(0°＜α＜45°),

    則∠OBA=45°-α.

∴a=,b=.∴|AB|²=++··=

100·=

==.

∴0°＜α＜45°,

∴45°＜2α+45°＜135°.

∴＜sin(2α+45°)≤1.

∴|AB|²≥=400(+1)²(當(dāng)且僅當(dāng)α=22.5°時(shí)取等號(hào)).

∴|AB|_min=20(+1).

    此時(shí),a=b==10,

即當(dāng)A、B離O點(diǎn)均為10 km時(shí),能使|AB|最短.其最短距離為20(+1) km.