Question

一汽車廠生產A，B，C三類轎車，每類轎車均有舒適型和標準型兩種型號，某月的產量如下表（單位：輛）：

	轎車A	轎車B	轎車C
舒適型	100	x	z
標準型	300	450	600

已知在該月生產的轎車中隨機抽一輛，抽到舒適型轎車B的概率為0.075，按類型分層抽樣的方法在這個月生產的轎車中抽取50輛，其中有A類轎車10輛．
（1）求x和z的值；
（2）用分層抽樣的方法在C類轎車中抽取一個容量為5的樣本．將該樣本看成一個總體，從中任取2輛，求至少有1輛舒適型轎車的概率；
（3）用隨機抽樣的方法從B類舒適型轎車中抽取8輛，經檢測它們的得分如下：9.4，8.6，9.2，9.6，8.7，9.3，9.0，8.2．把這8輛轎車的得分看作一個總體，從中任取一個數，求該數與樣本平均數之差的絕對值不超過0.5的概率．

Answer 1

分析：（1）利用分層抽樣滿足每個個體被抽到的概率相等，列出方程求出n，再利用頻數等于頻率乘以樣本容量求出x的值，據總的轎車數量求出z的值．
（2）先利用分層抽樣滿足每個個體被抽到的概率相等，求出抽取一個容量為5的樣本舒適型轎車的輛數，利用列舉的方法求出至少有1輛舒適型轎車的基本事件，利用古典概型的概率公式求出概率．
（3）利用平均數公式求出數據的平均數，通過列舉得到該數與樣本平均數之差的絕對值不超過0.5的數據，利用古典概型的概率公式求出概率．

解答：解：（1）設該廠本月生產轎車為n輛，由題意得

50

n

=

10

100+300

，
解得n=2000，x=2000×0.075=150
所以 z=2000-100-300-150-450-600=400；
（2）設所抽樣本中有m輛舒適型轎車，因為用分層抽樣的方法在C類轎車中抽取一個容量為5的樣本，所以

400

1000

=

m

5

，解得m=2也就是抽取了2輛舒適型轎車，3輛標準型轎車，分別記作S₁，S₂；B₁，B₂，B₃，
則從中任取2輛的所有基本事件為（S₁，B₁），（S₁，B₂），（S₁，B₃） （S₂，B₁），（S₂，B₂），（S₂，B₃），（ （S₁，S₂），（B₁，B₂），（B₂，B₃），（B₁，B₃）共10個，
其中至少有1輛舒適型轎車的基本事件有7個基本事件：（S₁，B₁），（S₁，B₂），（S₁，B₃） （S₂，B₁），（S₂，B₂），（S₂，B₃），（ （S₁，S₂），
所以從中任取2輛，至少有1輛舒適型轎車的概率為

7

10

．
（3）樣本的平均數為

.

x

=

1

8

×(9.4+8.6+9.2+9.6+8.7+9.3+9.0+8.2)=9，
那么與樣本平均數之差的絕對值不超過0.5的數為9.4，8.6，9.2，8.7，9.3，9.0這6個數，總的個數為8，
所以該數與樣本平均數之差的絕對值不超過0.5的概率為

6

8

=0.75

點評：求古典概型的事件的概率時，首先一個求出各個事件包含基本事件的個數，求基本事件個數的方法常用的有：列舉法、排列、組合的方法、圖表法．