Question

【題目】已知二次函數(shù)，，恒有. 數(shù)列滿足，且N*.

（1）求的解析式；

（2）證明：數(shù)列單調(diào)遞增；

（3）記. 若，求.

Answer 1

【答案】（1）；（2）見解析；（3）

【解析】

（1）利用得到的關(guān)系式，利用恒成立，列不等式，由此求得的值，進(jìn)而求得函數(shù)解析式.

（2）利用差比較法，結(jié)合（1）的結(jié)論，證得，由此證得數(shù)列單調(diào)遞增.

（3）首先判斷，然后證得數(shù)列是等比數(shù)列，并求得其首項(xiàng)和公比，進(jìn)而求得其前項(xiàng)和的表達(dá)式，利用對數(shù)式化為指數(shù)式，求得的值.

（1）由得，即；

因?yàn)?/span>恒成立，即恒成立，

即恒成立，從而，所以；

所以表達(dá)式為；

（2）由于，

又因?yàn)?/span>N*，

所以，因此，所以數(shù)列單調(diào)遞增；

（3）因?yàn)?/span>，

所以，即，

所以數(shù)列是等比數(shù)列，其首項(xiàng)，公比，其前項(xiàng)和為，即，所以.