Question

已知圓C:(x-1)²+y²=r²(r＞1)，設M為圓C與x軸負半軸的交點，過點M作圓C的弦MN，并使它的中點P恰好落在y軸上.

（1）當r∈(1,+∞)時，求點N的軌跡E的方程；

（2）若A(x₁,2)、B(x₂,y₂)、C(x₀,y₀)是E上不同的點，且AB⊥BC，求y₀的取值范圍.

Answer 1

解：(1)由條件知：M(-r+1,0),設P(0,b),N(x,y),則x=r-1.

所以(r-1-1)²+y²=r²,即y²=4r-4=4x.

所以點N的軌跡方程為y²=4x.

(2)由(1)知A(1，2)，B(,y₂),C(,y₀),y₀≠2,y₀≠y₂，

則=(,y₂-2),=(,y₀-y₂).

又因為AB⊥BC,所以AB·BC=0,

×+(y₂-2)(y₀-y₂)=0，

整理得y₂²+(y₀+2)y₂+16+2y₀=0，則此方程有解，

所以Δ=(y₀+2)²-4×(16+2y₀)≥0,解得y₀≤-6或y₀≥10，

當y₀=-6時，B(4，2)，C(9，-6)，故符合條件;

當y₀=10時，B(9，-6)，C(25，10)，故符合條件.

所以點C的縱坐標y₀的取值范圍是(-∞,-6］∪［10,+∞).