Question

7、（山東卷文3）函數(shù)f（x）=log₂（3^x+1）的值域為（　�。�

A、（0，+∞）

B、[0，+∞）

C、（1，+∞）

D、[1，+∞）

Answer 1

分析：函數(shù)的定義域為R，結(jié)合指數(shù)函數(shù)性質(zhì)可知3^x＞0恒成立，則真數(shù)3^x+1＞1恒成立，再結(jié)合對數(shù)函數(shù)性質(zhì)即可求得本題值域．

解答：解：根據(jù)對數(shù)函數(shù)的定義可知，真數(shù)3^x+1＞0恒成立，解得x∈R．
因此，該函數(shù)的定義域為R，
原函數(shù)f（x）=log₂（3^x+1）是由對數(shù)函數(shù)y=log₂t和t=3^x+1復(fù)合的復(fù)合函數(shù)．
由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性定義（同増異減）知道，原函數(shù)在定義域R上是單調(diào)遞增的．
根據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可知，3^x＞0，所以，3^x+1＞1，
所以f（x）=log₂（3^x+1）＞log₂1=0，
故選A．

點評：本題考查了對數(shù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性知識點，高中要求不高，只需同學(xué)們掌握好“同増異減“原則即可；本題還考查了同學(xué)們對指數(shù)函數(shù)性質(zhì)（如：3^x＞0）的掌握，這是指數(shù)函數(shù)求定義域和值域時常用知識．