Question

班主任為了對本班學生的考試成績進行分析，決定從全班25名女同學，15名男同學中隨機抽取一個容量為8的樣本進行分析.

（Ⅰ）如果按性別比例分層抽樣，可以得到多少個不同的樣本？（只要求寫出算式即可，不必計算出結果）.

（Ⅱ）隨機抽出8位，他們的數學分數從小到大排序是：60、65、70、75、80、85、90、95，物理分數從小到大排序是：72、77、80、84、88、90、93、95.

若規(guī)定85分以上（包括85分）為優(yōu)秀，求這8位同學中恰有3位同學的數學和物理分數均為優(yōu)秀的概率；

（2）若這8位同學的數學、物理分數對應如下表：

學生編號	1	2	3	4	5	6	7	8
數學分數x	60	65	70	75	80	85	90	95
物理分數y	72	77	80	84	88	90	93	95

 根據上表數據用變量y與x的相關系數或散點圖說明物理成績y與數學成績x之間是否具有線性相關性？如果具有線性相關性，求y與x的線性回歸方程（系數精確到0.01）；如果不具有線性相關性，請說明理由.

    參考公式：相關系數

    回歸直線的方程是：，

    其中對應的回歸估計值.

參考數據：

 

Answer 1

【答案】

（I）應選女生25×=5（個），男生15×=3（個），可以得到不同的樣本個數是.

（II）（1）;（2）y與x的回歸方程是.

【解析】本題考查線性回歸分析的初步應用，考查分層抽樣，考查條件概率，考查相互獨立事件同時發(fā)生的概率，考查利用數學知識解決實際問題的能力，是一個比較好的綜合題目．

（1）從全班25位女同學，15位男同學中隨機抽取一個容量為8的樣本進行分析，做出女生和男生在總人數中所占的比例，用比例乘以要抽取的樣本容量，得到結果．

（2）①這是一個條件概率，在良好的條件下，兩科均為優(yōu)秀，根據等可能事件的概率和相互獨立事件同時發(fā)生的概率做出一個學生兩科都良好的概率，和兩科都優(yōu)秀的概率，利用條件概率公式得到結果．

②首先求出兩個變量的平均數，再利用最小二乘法做出線性回歸方程的系數，把做出的系數和x，y的平均數代入公式，求出a的值，寫出線性回歸方程，得到結果．

解:（I）應選女生25×=5（個），男生15×=3（個），可以得到不同的樣本個數是.

（II）（1）這8位同學中恰有3位同學的數學和物理分數均為優(yōu)秀，則需要先從物理的4個優(yōu)秀分數中選出3個與數學優(yōu)秀分數對應，種數是，然后剩下的5個數學分數和物理分數任意對應，種數是。根據乘法原理滿足條件的種數是

 這8位同學的物理分數和數學分數分別對應的種數共有.

 故所求的概率

（2）變量y與x的相關系數是r=.可以看出，物理與數學成績是高度正相關.若以數學成績x為橫坐標，物理成績y為縱坐標做散點圖

從散點圖可以看出這些點大至分布在一條直線附近，并且在逐步上升，

故物理與數學成績是高度正相關.

 設y與x線性回歸方程y=bx+a、

根據所給的數據，可以計算出

=0.65，a=85－0.65×77.5=34.63，

 所以y與x的回歸方程是.