Question

如圖，過點（0，a³）的兩直線與拋物線y=-ax²相切于A、B兩點，AD、BC垂直于直線y=-8，垂足分別為D、C．
（1）若a=1，求矩形ABCD面積；
（2）若a∈（0，2），求矩形ABCD面積的最大值．

Answer 1

（1）設切點為（x₀，y₀），則y0=-ax02，
因為y'=-2ax，所以切線方程為y-y₀=-2ax₀（x-x₀），即y+ax02=-2ax0(x-x0)，
因為切線過點（0，a³），所以a3+ax02=-2ax0(0-x0)，即a3=ax02，于是x₀=±a．
將x₀=±a代入y0=-ax02得y0=-a3．
所以AB=2a，BC=8-a³，所以矩形ABCD面積為S=16a-2a⁴，
當a=1時，矩形ABCD的面積S=16×1-2×1⁴=14；
（2）由（1）得：矩形ABCD面積為S=16a-2a⁴（0＜a＜2），
則S'=16-8a³=8（2-a³）．
所以當0＜a＜

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時，S'＞0；當

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＜a＜2時，S'＜0；
故當a=

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時，S有最大值為S=16×

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-2×(

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)4=12

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．