Question

設(shè)P₁，P₂，P₃，…P_n，是曲線上的點(diǎn)列，Q₁，Q₂，Q₃，…Q_n是x軸的正半軸上的點(diǎn)列，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，且△OQ₁P₁，△Q₁Q₂P₂，…，△Q_nQ_n+1P_n+1是等邊三角形，設(shè)它們的邊長分別為a₁，a₂，a₃，…a_n，求{a_n}前n項(xiàng)和S_n．

Answer 1

【答案】分析：當(dāng)n=1時(shí)，由，得，令S_n=a₁+a₂+…+a_n，由△Q_n-1P_nQ_n為正三角形知，由點(diǎn)P_n在曲線上，知即，由此入手能夠求出{a_n}前n項(xiàng)和S_n．
解答：解：當(dāng)n=1時(shí)，由，得，
∴，令S_n=a₁+a₂+…+a_n，
則由△Q_n-1P_nQ_n為正三角形，（Q為原點(diǎn)，S=0），
∴，
又由點(diǎn)P_n在曲線上，
∴，
即
∴．
兩式相減，得，
∵a_n+1+a_n≠0，
∴
可驗(yàn)證，
故數(shù)列{a_n}是以為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列，
∴，
∴．
點(diǎn)評：本題考查等差數(shù)列的性質(zhì)和函數(shù)的綜合運(yùn)用，考查運(yùn)算求解能力，推理論證能力；考查函數(shù)與方程思想，化歸與轉(zhuǎn)化思想．具有一定的難度，容易出錯(cuò)．解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答．