Question

設(shè)橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，

上頂點(diǎn)為，在軸負(fù)半軸上有一點(diǎn)，滿足，且．

（Ⅰ）求橢圓的離心率；

（Ⅱ）是過(guò)三點(diǎn)的圓上的點(diǎn)，到直線的最大距離等于橢圓長(zhǎng)軸的長(zhǎng)，求橢圓的方程；

（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下，過(guò)右焦點(diǎn)作斜率為的直線與橢圓交于兩點(diǎn)，線段的中垂線與軸相交于點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍．

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）（Ⅱ）（Ⅲ）

【解析】

試題分析：解：（Ⅰ）連接，因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013061909431942165242/SYS201306190943595778554304_DA.files/image005.png">，，所以，

即，故橢圓的離心率．

（Ⅱ）由（1）知得于是, ，

的外接圓圓心為），半徑

到直線的最大距離等于，所以圓心到直線的距離為，

所以，得  ，橢圓方程為

（Ⅲ）由（Ⅱ）知, ：

   代入消得  

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013061909431942165242/SYS201306190943595778554304_DA.files/image028.png">過(guò)點(diǎn)，所以恒成立

設(shè)，則，

中點(diǎn)                        

當(dāng)時(shí)，為長(zhǎng)軸，中點(diǎn)為原點(diǎn)，則      

當(dāng)時(shí)中垂線方程．

令，              

，， 可得          

綜上可知實(shí)數(shù)的取值范圍是．              

考點(diǎn)：橢圓的方程；橢圓的性質(zhì)；

點(diǎn)評(píng)：關(guān)于曲線的大題，難度相對(duì)都較大。對(duì)于題目涉及到關(guān)于直線和其他曲線的交點(diǎn)時(shí)，一般都可以用到跟與系數(shù)的關(guān)系式：在一元二次方程中，。