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        1. 曲線N:y2=2px(p>0)的焦點到準線的距離為
          (1)求曲線N;
          (2)過點T(-1,0)作直線l與曲線N交于A、B兩點,在x軸上是否存在一點E(x,0),使得△ABE是等邊三角形,若存在,求出x;若不存在,請說明理由.
          【答案】分析:(1)根據(jù)拋物線的定義可知點F(,0)為拋物線的焦點,x=-為其準線,設出拋物線的方程,根據(jù)焦點坐標求得p,則拋物線方程可得.
          (2)對于存在性問題,可先假設存在,即假設x軸上存在滿足條件的點Ex,0),再利用△ABC為正三角形,求出AB,若出現(xiàn)矛盾,則說明假設不成立,即不存在;否則存在.
          解答:解:(1)據(jù)拋物線的定義可知點F(,0)為拋物線的焦點,x=-為其準線,
          ∴p=
          ∴曲線N:y2=x(3分)
          (2)依題意知,直線的斜率存在,且不等于0.
          設直線l:y=k(x+1),k≠0,A(x1,y1),B(x2,y2).
          消y整理,得k2x2+(2k2-1)x+k2=0①
          由直線和拋物線交于兩點,得△=(2k2-1)2-4k4=-4k2+1>
          0即②(5分)
          由韋達定理,得:,x1x2=1.

          則線段AB的中點為.(8分)
          線段的垂直平分線方程為:
          令y=0,得,則(10分)
          ∵△ABE為正三角形,
          到直線AB的距離d為.(11分)
          又∵=

          解得滿足②式(13分)
          此時.(14分)
          點評:本題主要考查了拋物線的簡單性質(zhì),直線與拋物線的關系,拋物線的標準方程.考查了學生分析問題和運算能力的.
          練習冊系列答案
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          科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

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          (1)求曲線N;
          (2)過點T(-1,0)作直線l與曲線N交于A、B兩點,在x軸上是否存在一點E(x0,0),使得△ABE是等邊三角形,若存在,求出x0;若不存在,請說明理由.

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          (Ⅰ)用k、l、m、n分別表示xE和xF;
          (Ⅱ)當曲線C的方程分別為:x2+y2=R2(R>0)、
          x2
          a2
          +
          y2
          b2
          =1(a>b>0)
          時,探究xE•xF的值是否與點M、N、P的位置相關;
          (Ⅲ)類比(Ⅱ)的探究過程,當曲線C的方程為y2=2px(p>0)時,探究xE與xF經(jīng)加、減、乘、除的某一種運算后為定值的一個正確結(jié)論.

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          (理)過圓錐曲線焦點F的直線被曲線截得的弦稱為焦點弦,若拋物線y2=2px(p>0)的焦點將焦點弦分成長為m,n的兩段,則有結(jié)論
          1
          m
          +
          1
          n
          =
          2
          p
          .借助獲得這一結(jié)論的思想方法可以得到:若橢圓
          x2
          a2
          +
          y2
          b2
          =1 (a>b>0)
          的一個焦點將焦點弦分成長為m,n的兩段,則
          1
          m
          +
          1
          n
          =
          2a
          b2
          2a
          b2

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          科目:高中數(shù)學 來源:不詳 題型:解答題

          曲線N:y2=2px(p>0)的焦點到準線的距離為
          1
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          (2)過點T(-1,0)作直線l與曲線N交于A、B兩點,在x軸上是否存在一點E(x0,0),使得△ABE是等邊三角形,若存在,求出x0;若不存在,請說明理由.

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