Question

定義在R上的函數(shù)f （x）滿足：如果對(duì)任意x₁，x₂∈R，都有f(

x1+x2

2

)≤

1

2

[f(x1)+f(x2)]，則稱函數(shù)f （x）是R上的凹函數(shù)，已知二次函數(shù)f（x）=ax²+x（a∈R，a≠0），
（1）當(dāng)a=1時(shí)，試判斷函數(shù)f （x）是否為凹函數(shù)，并說明理由；
（2）如果函數(shù)f （x）對(duì)任意的x∈[0，1]時(shí)，都有|f（x）|≤1，試求實(shí)數(shù)a的范圍．

Answer 1

分析：（1）先表示出函數(shù)f（x）的解析式，再根據(jù)凹函數(shù)定義即可驗(yàn)證．
（2）由|f（x）|≤1表示出關(guān)于a的不等式，再根據(jù)x的取值范圍進(jìn)行分析可得答案．

解答：解：（1）a=1時(shí)，函數(shù)f（x）是凹函數(shù)，
此時(shí)f（x）=x²+x，f(

x1+x2

2

)=（

x1+x2

2

）²+（

x1+x2

2

），

1

2

[f（x₁）+f（x₂）]=

1

2

[x₁²+x₁+x₂²+x₂]，
作差得到：f(

x1+x2

2

)²-

1

2

[f（x₁）+f（x₂）]
=（

x1+x2

2

）²+（

x1+x2

2

）-

1

2

（x₁²+x₂²）-

1

2

（x₁+x₂）
=

x 2 1 +2x1x2+ x 2 2

4

-

2 x 2 1 +2 x 2 2

4

=

- x 2 1 +2x1x2- x 2 2

4

=-(

x1+x2

2

)2≤0，
即有f(

x1+x2

2

)≤

1

2

[f（x₁）+f（x₂）]，
故知函數(shù)f（x）=x²+x為凹函數(shù)；
（2）由-1≤f（x）=ax²+x≤1，
則有

ax2+x≥-1 ax2+x≤1

?

ax2≥-x-1 ax2≤-x+1.

i）若x=0時(shí)，則a∈R恒成立，
ii）若x∈（0，1]時(shí)，有

a≥- 1 x - 1 x2 a≤- 1 x + 1 x2

?

a≥-( 1 x + 1 2 )2+ 1 4    (1) a≤( 1 x - 1 2 )2- 1 4 .   (2)

∵0＜x≤1?

1

x

≥1．
∴當(dāng)

1

x

=1時(shí)，a≥-(1+

1

2

)2+

1

4

=-2a≤(1-

1

2

)2-

1

4

=0
所以0≥a≥-2．

點(diǎn)評(píng)：本題是先給出新定義--凹函數(shù)，然后根據(jù)這個(gè)定義證明．這里主要考查學(xué)生接受新內(nèi)容快慢的能力．