Question

（本小題滿分13分）
已知數(shù)列滿足，且當時，，令．
（Ⅰ）寫出的所有可能的值；
（Ⅱ）求的最大值；
（Ⅲ）是否存在數(shù)列，使得？若存在，求出數(shù)列；若不存在，說明理由．

Answer 1

（1）的所有可能的值為：，，，，．（2）的最大值為；（3）.

第一問中，根據(jù)題意可知當i=5時，滿足條件的數(shù)列的所有可能情況有
，分別結(jié)算得到的值
第二問中，因為遞推關(guān)系可知由，
可設(shè)，則或（，），
那么借助于累加法的思想得到數(shù)列的通項公式
第三問中，由（Ⅱ）可知，如果的前項中恰有項取，的后項中恰有項取，則，可知分析得到結(jié)論。
解:（Ⅰ）由題設(shè)，滿足條件的數(shù)列的所有可能情況有：
（1）此時；（2）此時；
（3）此時；（4）此時；
（5）此時；（6）此時；
所以，的所有可能的值為：，，，，．       ……4分
（Ⅱ）由，
可設(shè)，則或（，），
因為，所以
．
因為，所以，且為奇數(shù)，是由
個1和個構(gòu)成的數(shù)列
所以
．
則當的前項取，后項取時最大，
此時．
證明如下：
假設(shè)的前項中恰有項取，則
的后項中恰有項取，其中，
，，．
所以


．
所以的最大值為．                          ……9分
（Ⅲ）由（Ⅱ）可知，如果的前項中恰有項取，的后項中恰有項取，則，若，則，因為是奇數(shù)，所以是奇數(shù)，而是偶數(shù)，因此不存在數(shù)列，使得．                                       ……13分