Question

已知某商品進(jìn)價(jià)為a元/件，根據(jù)以往經(jīng)驗(yàn)，當(dāng)售價(jià)是b（b≥

4

3

a）元/件時(shí)，可賣出c件．市場調(diào)查表明，當(dāng)售價(jià)下降10%時(shí)，銷量可增加40%，現(xiàn)決定一次性降價(jià)，銷售價(jià)為多少時(shí)，可獲得最大利利潤．

Answer 1

分析：設(shè)銷售價(jià)為x元/件，它比售價(jià)b元下降了10y%，根據(jù)x=b（1-10y%），可得10y%=

b-x

b

，從而可求出賣出c（1+40y%）=c+4c

b-x

b

，進(jìn)而得利潤函數(shù)L（x）=（x-a）（ c+4c

b-x

b

）=c（x-a）（5-

4

b

x），a＜x＜

5b

4

．利用求導(dǎo)的方法，可求函數(shù)L（x）的極大值點(diǎn)，而且也是最大值點(diǎn)．故得解．

解答：解：設(shè)銷售價(jià)為x元/件，它比售價(jià)b元下降了10y%，
從而x=b（1-10y%），故10y%=

b-x

b

．
由題意此時(shí)可賣出m件，則m=c（1+40y%）=c+4c

b-x

b

，
從而利潤L（x）=（x-a）（ c+4c

b-x

b

）=c（x-a）（5-

4

b

x），a＜x＜

5b

4

．
令L′（x）=-

8c

b

x+

4ac+5bc

b

=0，解得x=

4a+5b

8

當(dāng)x∈（a，

4a+5b

8

）時(shí)，L′（x）＞0；當(dāng)x∈（

4a+5b

8

，

5b

4

）時(shí)，L′（x）＜0．
因此x=

4a+5b

8

是函數(shù)L（x）的極大值點(diǎn)，也是最大值點(diǎn)．
所以，銷售價(jià)為

4a+5b

8

元/件時(shí)，可獲得最大利潤．
答：銷售價(jià)為

4a+5b

8

元/件時(shí)，可獲得最大利潤．

點(diǎn)評：本題以實(shí)際問題為載體，考查函數(shù)模型的構(gòu)建，考查導(dǎo)數(shù)法的運(yùn)用．最大銷售利潤的問題常利用函數(shù)的增減性來解答，要注意應(yīng)該在自變量的取值范圍內(nèi)求最大值（或最小值）．