Question

若集合A＝{x|x＝3n＋1，n∈Z}，B＝{x|x＝3n＋2，n∈Z}，M＝{x|x＝6n＋3，n∈Z}．

(1)若m∈M，問是否有a∈A，b∈B，使m＝a＋b；

(2)對于任意a∈A，b∈B，是否一定有a＋b＝m且m∈M？并證明你的結(jié)論．

Answer 1

答案：
解析：

(1)由m＝6k＋3＝3k＋1＋3k＋2(k∈Z)，令a＝3k＋1，b＝3k＋2，則m＝a＋b．故m∈M，一定有a∈A，b∈B，使m＝a＋b成立． 　　(2)設a＝3k＋1，b＝3l＋2，k，l∈Z，則a＋b＝3(k＋l)＋3． 　　因此當k＋l＝2p(p∈Z)時，a＋b＝6p＋3∈M，此時有m∈M，使a＋b＝m；當k＋l＝2p＋1(p∈Z)時，a＋b＝6p＋6M，此時不存在m使a＋b＝m成立．

提示：

分析：(1)由m∈M，可寫出m的表達式，再根據(jù)A、B中元素特征，尋找a、b； 　　(2)問中可表示a、b，然后找a＋b，最后觀察a＋b的形式． 　　評注：在探索過程中，要緊抓各集合元素的特征，利用構(gòu)造法去尋找，同時注意分類討論．