Question

已知直線l：y=mx+4，圓C：x²+y²=4．
（1）若直線l與圓C相切，求實(shí)數(shù)m的值和直線l的方程；
（2）若直線l與圓C相離，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析：方法一：求出圓心到直線的距離，（1）直線l與圓C相切，則d=r；（2）直線l與圓C相離，則d＞r，利用點(diǎn)到直線的距離公式，可求相應(yīng)的值；
方法二：把直線l：y=mx+4方程代入圓C：x²+y²=4，可得一元二次方程，（1）若直線l與圓C相切，則△=0；（2）若直線l與圓C相離，則△＜0，可求相應(yīng)的值．

解答：解：（方法一）直線l方程為mx-y+4=0，到圓心C（0，0）的距離d=

|4|

m2+1

．
又圓C的半徑r=2．…（3分）
（1）若直線l與圓C相切，則d=r，即

|4|

m2+1

=2．…（5分）
解得m²=3，所以m=±

3

．…（7分）
所以直線l方程為

3

x-y+4=0或

3

x+y-4=0．…（8分）
（2）若直線l與圓C相離，則d＞r，即

|4|

m2+1

＞2．…（10分）
解得m²＜3，所以-

3

＜m＜

3

，即m的取值范圍是(-

3

，

3

)．…（12分）
（方法二）把直線l：y=mx+4方程代入圓C：x²+y²=4，得（m²+1）x²+8mx+12=0，…（3分）
其判別式△=（8m）²-4×12×（m²+1）．…（5分）
（1）若直線l與圓C相切，則△=0，解得m²=3，所以m=±

3

．…（7分）
所以直線l方程為

3

x-y+4=0或

3

x+y-4=0．…（8分）
（2）若直線l與圓C相離，則△＜0．…（10分）
解得m²＜3，所以-

3

＜m＜

3

，即m的取值范圍是(-

3

，

3

)．…（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線與圓的位置關(guān)系，考查代數(shù)法語(yǔ)幾何法是運(yùn)用，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．