Question

已知F₁（-2，0），F(xiàn)₂（2，0），動(dòng)點(diǎn)P滿足|PF₁|-|PF₂|=2，記動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為S，過點(diǎn)F₂作直線l與軌跡S交于P、Q兩點(diǎn)，過P、Q作直線x=的垂線PA、QB，垂足分別為A、B，記λ=|AP|•|BQ|．
（Ⅰ）求軌跡S的方程；
（Ⅱ）設(shè)點(diǎn)M（-1，0），求證：當(dāng)λ取最小值時(shí)，△PMQ的面積為9．

Answer 1

（Ⅰ）解：由|PF₁|-|PF₂|=2＜|F₁F₂|知，點(diǎn)P的軌跡S是以F₁、F₂為焦點(diǎn)的雙曲線右支．…（1分）
由c=2，2a=2，∴b²=3． …（3分）
故軌跡S的方程為x²-=1 （x≥1）…（5分）
（Ⅱ）證明：當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，…（6分）
設(shè)直線方程為y=k（x-2），P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），與雙曲線方程聯(lián)立消y得（k²-3）x²-4k²x+4k²+3=0 …（7分）
∴解得k²＞3．…（9分）
∵λ=|AP|•|BQ|==（2x₁-1）（2x₂-1）=[4x₁x₂-2（x₁+x₂）+1]=x₁x₂-+ …（11分）
=-+=+=+＞． …（12分）
當(dāng)斜率不存在時(shí)，|AP|•|BQ|=，∴λ的最小值為．…（13分）
此時(shí)，|PQ|=6，|MF₂|=3，S_△PMQ=||MF₂|•|PQ|=9．…（14分）
分析：（Ⅰ）由|PF₁|-|PF₂|=2＜|F₁F₂|知，點(diǎn)P的軌跡S是以F₁、F₂為焦點(diǎn)的雙曲線右支，結(jié)合焦點(diǎn)坐標(biāo)，可求軌跡S的方程；（Ⅱ）當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)直線方程為y=k（x-2），與雙曲線方程聯(lián)立消y得（k²-3）x²-4k²x+4k²+3=0，結(jié)合韋達(dá)定理，及λ=|AP|•|BQ|，考慮直線斜率不存在，確定λ的最小值為，從而可求△PMQ的面積．
點(diǎn)評(píng)：本題考查雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查雙曲線的定義，考查直線與雙曲線的位置關(guān)系，考查三角形面積的計(jì)算，屬于中檔題．