Question

（2013•遼寧）（1）證明：當x∈[0，1]時，

2

2

x≤sinx≤x；
（2）若不等式ax+x2+

x3

2

+2(x+2)cosx≤4對x∈[0，1]恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）記F（x）=sinx-

2

2

x，可求得F′（x）=cosx-

2

2

，分x∈（0，

π

4

）與x∈（

π

4

，1）兩類討論，可證得當x∈[0，1]時，F(xiàn)（x）≥0，即sinx≥

2

2

x；記H（x）=sinx-x，同理可證當x∈（0，1）時，sinx≤x，二者結合即可證得結論；
（2）利用（1），可求得當x∈[0，1]時，ax+x²+

x3

2

+2（x+2）cosx-4≤（a+2）x，分a≤-2與a＞-2討論即可求得實數(shù)a的取值范圍．

解答：（1）證明：記F（x）=sinx-

2

2

x，則F′（x）=cosx-

2

2

．
當x∈（0，

π

4

）時，F(xiàn)′（x）＞0，F(xiàn)（x）在[0，

π

4

]上是增函數(shù)；
當x∈（

π

4

，1）時，F(xiàn)′（x）＜0，F(xiàn)（x）在[

π

4

，1]上是減函數(shù)；
又F（0）=0，F(xiàn)（1）＞0，所以當x∈[0，1]時，F(xiàn)（x）≥0，即sinx≥

2

2

x…3
記H（x）=sinx-x，則當x∈（0，1）時，H′（x）=cosx-1＜0，所以H（x）在[0，1]上是減函數(shù)；則H（x）≤H（0）=0，
即sinx≤x．
綜上，

2

2

x≤sinx≤x…5
（2）∵當x∈[0，1]時，ax+x²+

x3

2

+2（x+2）cosx-4
=（a+2）x+x²+

x3

2

-4（x+2）sin2

x

2

≤（a+2）x+x²+

x3

2

-4（x+2）(

2

4

x)2
=（a+2）x，
∴當a≤-2時，不等式ax+x²+

x3

2

+2（x+2）cosx≤4對x∈[0，1]恒成立，…9
下面證明，當a＞-2時，不等式ax+x²+

x3

2

+2（x+2）cosx≤4對x∈[0，1]不恒成立．
∵當x∈[0，1]時，ax+x²+

x3

2

+2（x+2）cosx-4
=（a+2）x+x²+

x3

2

-4（x+2）sin2

x

2

≥（a+2）x+x²+

x3

2

-4（x+2）(

x

2

)2
=（a+2）x-x²-

x3

2

≥（a+2）x-

3

2

x²
=-

3

2

x[x-

2

3

（a+2）]．
所以存在x₀∈（0，1）（例如x₀取

a+2

3

和

1

2

中的較小值）滿足
ax₀+x02+

x03

2

+2（x₀+2）cosx₀-4＞0，
即當a＞-2時，不等式ax+x²+

x3

2

+2（x+2）cosx≤4對x∈[0，1]不恒成立．
綜上，實數(shù)a的取值范圍是（-∞，-2]．

點評：本題考查不等式的證明，突出考查利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性及函數(shù)恒成立問題，考查分類討論思想與等價轉(zhuǎn)化思想的綜合應用，屬于難題．