Question

如圖，在邊長為a的菱形ABCD中，∠ABC=60°，PC⊥面ABCD，PC=2a，E、F分別是PA和AB的中點．
（1）求證：EF∥面PBC；
（2）求證：平面PDB⊥平面PAC；
（3）求EF與平面PAC所成的角的正切值．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)三角形的中線平行于底邊，由線線平行⇒線面平行即可；
（2）證明BD垂直于平面PAC中的兩條相交直線，再由線線垂直⇒線面垂直⇒面面垂直；
（3）根據(jù)平行線與同一平面所成的角相等，轉(zhuǎn)化為PB與平面所成的角，再解三角形即可．

解答：解：（1）證明：∵AE=PE，AF=BF，∴EF∥PB
又 EF?平面PBC，PB?平面PBC，
∴EF∥平面PBC
（2）證明∵PC⊥面ABCD∴PC⊥BD
∵四邊形ABCD為菱形∴AC⊥BD
又∵PC∩AC=C
∴BD⊥面PAC∵BD?面PBD
∴面PBD⊥面PCD
（3）記BD∩AC=O，連PO．由 （2）知BD⊥面PAC
又EF∥PB，∴∠BPO為EF與平面PAC所成的角
在△ABC中∵BC=a，∠ABC=60°，∴CO=

a

2

，BO=

3

2

a．
在Rt△POC中PO=

CO2+PC2

=

17

2

a，故 tan∠BPO=

BO

PO

=

51

17

所以直線EF與平面PAC所成的角的正切值為

51

17

點評：本題考查線面平行的判定、面面垂直的判定及直線與平面所成的角．求直線與平面所成的角常用方法是：1、作角（垂線），2、證角（符合定義）、3求角（解三角形）．