Question

（18）如圖，直線 l₁：y＝kx（k>0）與直線l₂：y＝－kx之間的陰影區(qū)域（不含邊界）記為W，其左半部分記為W₁，右半部分記為W₂．

（I）分別用不等式組表示W(wǎng)₁和W₂；

（II）若區(qū)域W中的動(dòng)點(diǎn)P(x，y)到l₁，l₂的距離之積等于d²，求點(diǎn)P的軌跡C的方程；

（III）設(shè)不過(guò)原點(diǎn)O的直線l與（II）中的曲線C相交于M₁，M₂兩點(diǎn)，且與l₁，l₂分別交于M₃，M₄兩點(diǎn)．求證△OM₁M₂的重心與△OM₃M₄的重心重合．

Answer 1

（18）解：（I）W₁={(x, y)| kx<y<－kx, x<0}，

W₂={(x, y)| －kx<yx, x>0}，

    （II）直線l₁：kx－y＝0，直線l₂：kx＋y＝0，由題意得

, 即，

    由P(x, y)∈W，知k²x²－y²>0，

    所以 ，即,

    所以動(dòng)點(diǎn)P的軌跡C的方程為；

  （III）當(dāng)直線l與x軸垂直時(shí)，可設(shè)直線l的方程為x＝a（a≠0）．由于直線l，曲線C關(guān)于x軸對(duì)稱，且l₁與l₂關(guān)于x軸對(duì)稱，于是M₁M₂，M₃M₄的中點(diǎn)坐標(biāo)都為（a，0），所以△OM₁M₂，△OM₃M₄的重心坐標(biāo)都為（，0），即它們的重心重合，

    當(dāng)直線l與x軸不垂直時(shí)，設(shè)直線l的方程為y=mx+n（n≠0）．

由，得

    由直線l與曲線C有兩個(gè)不同交點(diǎn)，可知k²－m²≠0且

△=>0

設(shè)M₁，M₂的坐標(biāo)分別為(x₁, y₁)，(x₂, y₂)，

則, ,

設(shè)M₃，M₄的坐標(biāo)分別為(x₃, y₃)，(x₄, y₄)，

由得

從而，

所以y₃+y₄=m(x₃+x₄)+2n＝m(x₁+x₂)+2n＝y₁+y₂,

所以

    于是△OM₁M₂的重心與△OM₃M₄的重心也重合．