Question

21、某會(huì)議室用5盞燈照明，每盞燈各使用燈泡一只，且型號(hào)相同．假定每盞燈能否正常照明只與燈泡的壽命有關(guān)，該型號(hào)的燈泡壽命為1年以上的概率為p₁，壽命為2年以上的概率為p₂．從使用之日起每滿(mǎn)1年進(jìn)行一次燈泡更換工作，只更換已壞的燈泡，平時(shí)不換．
（Ⅰ）在第一次燈泡更換工作中，求不需要換燈泡的概率和更換2只燈泡的概率；
（Ⅱ）在第二次燈泡更換工作中，對(duì)其中的某一盞燈來(lái)說(shuō)，求該盞燈需要更換燈泡的概率；
（Ⅲ）當(dāng)p₁=0.8，p₂=0.3時(shí)，求在第二次燈泡更換工作，至少需要更換4只燈泡的概率（結(jié)果保留兩個(gè)有效數(shù)字）．

Answer 1

分析：（I）一只燈泡需要不需要換，可以看做一個(gè)獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，根據(jù)公式得到在第一次更換燈泡工作中，不需要換燈泡的概率和需要更換2只燈泡的概率．
（II）由題意知在第二次燈泡更換工作中，對(duì)其中的某一盞燈來(lái)說(shuō)，該盞燈需要更換燈泡是兩個(gè)獨(dú)立事件，包括兩種情況，這兩種情況是互斥的，根據(jù)獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)和互斥事件的概率公式，得到結(jié)果．
（III）由題意知，至少需要更換4只燈泡包括需要環(huán)4只，需要換5只，根據(jù)獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的概率公式寫(xiě)出結(jié)果．

解答：解：因?yàn)樵撔吞?hào)的燈泡壽命為1年以上的概率為p₁，壽命為2年以上的概率為p₂．
所以壽命為1～2年的概率應(yīng)為p₁-p₂．其分布列為：

（I）一只燈泡需要不需要換，可以看做一個(gè)獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，根據(jù)公式得到
在第一次更換燈泡工作中，不需要換燈泡的概率為p₁⁵，需要更換2只燈泡的概率為C₅²p₁³（1-p₁）²；
（II）在第二次燈泡更換工作中，對(duì)其中的某一盞燈來(lái)說(shuō)，該盞燈需要更換燈泡是兩個(gè)獨(dú)立事件的和事件：
①在第1、2次都更換了燈泡的概率為（1-p₁）²；
②在第一次未更換燈泡而在第二次需要更換燈泡的概率為p₁（1-p₂）．
故所求的概率為p₃=（1-p₁）²+p₁（1-p₂）．
（III）由（II）當(dāng)p₁=0.8，p₂=0.3時(shí)，在第二次燈泡更換工作中，對(duì)其中的某一盞燈來(lái)說(shuō)，該盞燈需要更換燈泡的概率p₃=（1-p₁）²+（p₁-p₂）=0.54．
在第二次燈泡更換工作，至少換4只燈泡包括換5只和換4只兩種情況：
①換5只的概率為p₃⁵=0.54⁵=0.046；
②換4只的概率為C₅¹p₃⁴（1-p₃）=5×0.54⁴（1-0.54）=0.196，
故至少換4只燈泡的概率為：p₄=0.046+0.196=0.242．
即滿(mǎn)兩年至少需要換4只燈泡的概率為0.242．

點(diǎn)評(píng)：本題考查離散型隨機(jī)變量的分布列，考查獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的概率，考查相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率，考查互斥事件的概率，是一個(gè)綜合題，題干比較長(zhǎng)，需要認(rèn)真讀題來(lái)理解題意．