Question

已知常數(shù)a為正實數(shù)，在曲線C_n：y=

nx

上一點P（x_n，y_n）處的切線L_n總經(jīng)過定點（-a，0），（n∈N^*）．求證點列：P₁，P₂，…，P_n在同一直線上．（關(guān)鍵是：P_i在同一直線上有三種情況：①x_i相同；②y_i相同；③

yi

xi

為常數(shù)）

Answer 1

分析：欲求出切線方程，只須求出其斜率即可，故先利用導數(shù)求出在x=x_n處的導函數(shù)值，再結(jié)合導數(shù)的幾何意義即可求出切線的斜率．寫出切線方程，由P_n（a，

na

）在曲線C_n上可得x_n=a，yn=

na

，可證P總在直線x=a上，即P₁，P₂，，P_n在同一直線上，從而問題解決．
（法二）：由切線過點（-a，0）得切線方程為y=k_n（x+a），由方程組

y=kn(x+a) y2=nx(y≥0)

可得k_n²x²+（2ak_n²-n）x+k_n²a²=0，由△=0可得k_n²=

n

4a

，代入到方程中可求得x_n=a，即可證

解答：證法一：f（x）=

nx

∴f′(x)=

1

2 nx

•(nx)′=

1

2

•

n x

（3分）
C_n：y=

nx

上一點P（x_n，y_n）處的切線L_n的斜率k_n=f'（x_n）=

1

2

•

n xn

L_n的方程為y-y_n=

1

2

•

n xn

(x-xn)（7分）
∵L_n經(jīng)過點（-a，0）
∴yn=-

1

2

(-a-xn)=

1

2

n xn

（a+x_n）
又∵P_n在曲線C_n上，
∴yn=

nxn

=

1

2

n xn

(a+xn)
∴x_n=a，yn=

na

∴P(a，

na

)總在直線x=a上（10分）
即P₁，P₂，…，P_n在同一直線x=a上 （14分）
證法二：設(shè)切線L_n的斜率為k_n，
由切線過點（-a，0）得切線方程為y=k_n（x+a）（3分）
則方程組

y=kn(x+a) y2=nx(y≥0)

的解為

x=xn y=yn

，
用代入法消去y化簡得k_n²x²+（2ak_n²-n）x+k_n²a²=0（*）；（7分）
有△=（2ak_n²-n）²-4k_n²•k_n²a²=-4ank_n²+n²=0∴k_n²=

n

4a

即

n

4a

x2+(2a•

n

4a

-n)x+

n

4a

•a2=0即x2-2a•x+a2=0（10分）
∴x=a即有x_n=a，y_n=

nxn

=

na

即P₁，P₂，…，P_n在同一直線x=a上  （14分）

點評：本小題主要考查函數(shù)單調(diào)性的應用、利用導數(shù)研究曲線上某點切線方程、不等式的證明等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力、化歸與轉(zhuǎn)化思想．