Question

已知函數(shù)f(x)=log

1

2

ax-2

x-1

（a為常數(shù)）．
（1）若常數(shù)a＜2且a≠0，求f（x）的定義域；
（2）若f（x）在區(qū)間（2，4）上是減函數(shù)，求a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)知其真數(shù)必須大于0，對(duì)字母a進(jìn)行分類討論：當(dāng)0＜a＜2時(shí)，當(dāng)a＜0時(shí)，即可求得求f（x）的定義域；
（2）由題意知函數(shù)f（x）是由y=log

1

2

u和u=

ax-2

x-1

復(fù)合而來(lái)，由復(fù)合函數(shù)單調(diào)性結(jié)論，只要u（x）在區(qū)間在（2，4）上為增且為正即可．

解答：解：（1）由

ax-2

x-1

＞0，當(dāng)0＜a＜2時(shí)，解得x＜1或x＞

2

a

，
當(dāng)a＜0時(shí)，解得

2

a

＜x＜1．
故當(dāng)0＜a＜2時(shí)，f（x）的定義域?yàn)閧x|x＜1或x＞

2

a

}
當(dāng)a＜0時(shí)，f（x）的定義域?yàn)閧x|

2

a

＜x＜1}．
（2）令u=

ax-2

x-1

，因?yàn)?span id="mcbby1g" class="MathJye">f(x)=log

1

2

u為減函數(shù)，
故要使f（x）在（2，4）上是減函數(shù)，
則u=

ax-2

x-1

=a+

a-2

x-1

在（2，4）上為增且為正．
故有

a-2＜0 umin＞u(2)= 2a-2 2-1 ≥0

⇒1≤a＜2．
故a∈[1，2）．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查對(duì)數(shù)函數(shù)的定義域、復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性和一元二次方程根的分布，整體思想是解決本類問(wèn)題的根本．