Question

已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的離心率為

2

2

，其左、右焦點(diǎn)分別為F₁、F₂，點(diǎn)P是橢圓上一點(diǎn)，且

PF1

•

PF2

=0，|OP|=1（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）過點(diǎn)S(0，-

1

3

)且斜率為k的動(dòng)直線l交
橢圓于A、B兩點(diǎn)，在y軸上是否存在定點(diǎn)M，使以AB為直徑的圓恒過這個(gè)點(diǎn)？若存在，求出M的坐標(biāo)，若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）因?yàn)?span dealflag="1" class="MathJye" mathtag="math" style="whiteSpace:nowrap;wordSpacing:normal;wordWrap:normal">e=

2

2

，所以

c

a

=

2

2

， 即a=

2

c，由

PF1

•

PF2

=0，得|OP|=

1

2

|F1F2|=c．由此能得到橢圓的方程．
（Ⅱ）動(dòng)直線l的方程為：y=kx-

1

3

，由

y=kx- 1 3 x2 2 +y2=1

得(2k2+1)x2-

4

3

kx-

16

9

=0．設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．則x1+x2=

4k

3(2k2+1)

，x1x2=-

16

9(2k2+1)

由此能夠證明在y軸上存在定點(diǎn)M，使得以AB為直徑的圓恒過這個(gè)點(diǎn)，點(diǎn)M的坐標(biāo)為（0，1）．

解答：解：（Ⅰ）因?yàn)?span dealflag="1" class="MathJye" mathtag="math" style="whiteSpace:nowrap;wordSpacing:normal;wordWrap:normal">e=

2

2

，所以

c

a

=

2

2

， 即a=

2

c．（2分）
∵

PF1

•

PF2

=0，∴PF₁⊥PF₂，∴|OP|=

1

2

|F1F2|=c；
又∵|OP|=1，∴c=1，
∴a=

2

．b=1．因此所求橢圓的方程為：

x2

2

+y2=1．（4分）
（Ⅱ）動(dòng)直線l的方程為：y=kx-

1

3

，
由

y=kx- 1 3 x2 2 +y2=1

得(2k2+1)x2-

4

3

kx-

16

9

=0．
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
則x1+x2=

4k

3(2k2+1)

，x1x2=-

16

9(2k2+1)

．（8分）
假設(shè)在y軸上存在定點(diǎn)M（0，m），滿足題設(shè)，則

MA =(x1，y1-m)， MB =(x2，y2-m). MA • MB =x1x2+(y1-m)(y2-m)=x1x2+y1y2-m(y1+y2)+m2 =x1x2+(kx1- 1 3 )(kx2- 1 3 )-m(kx1- 1 3 +kx2- 1 3 )+m2 =(k2+1)x1x2-k( 1 3 +m)(x1+x2)+m2+ 2 3 m+ 1 9 =- 16(k2+1) 9(2k2+1) -k( 1 3 +m) 4k 3(2k2+1) +m2+ 2 3 m+ 1 9

=

18(m2-1)k2+(9m2+6m-15)

9(2k2+1)

．（12分）
由假設(shè)得對(duì)于任意的k∈R， 

MA

•

MB

=0恒成立，
即

m2-1=0 9m2+6m-15=0

解得m=1．
因此，在y軸上存在定點(diǎn)M，使得以AB為直徑的圓恒過這個(gè)點(diǎn)，
點(diǎn)M的坐標(biāo)為（0，1）．（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線和圓錐曲線的位置關(guān)系的綜合運(yùn)用，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意合理地進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化．