Question

已知

a

=(cosθ，-sinθ)，

b

=(cosθ，sinθ)，θ∈(0，

π

2

)，且

a

•

b

=-

1

2

．
（1）求θ的大�。�  
（2）若sin(x+θ)=

10

10

，x∈(

π

2

，π)，求cosx的值．

Answer 1

分析：（1）利用向量垂直的坐標(biāo)間的關(guān)系式即可求得θ的大小；
（2）結(jié)合（1），利用兩角差的余弦公式即可求得cosx的值．

解答：解：（1）∵

a

=（cosθ，-sinθ），

b

=（cosθ，sinθ）且

a

•

b

=-

1

2

，
∴cos²θ-sin²θ=-

1

2

，
∴cos2θ=-

1

2

，又θ∈（0，

π

2

），
∴2θ=

2π

3

，
∴θ=

π

3

；
（2）∵θ=

π

3

，sin（x+θ）=

10

10

，
∴sin（x+θ）=sin（x+

π

3

）=

10

10

，
∵x∈（

π

2

，π），
∴x+

π

3

∈（

5π

6

，

4π

3

），
∴cos（x+

π

3

）=-

3 10

10

，
∴cosx=cos[（x+

π

3

）-

π

3

]
=cos（x+

π

3

）cos

π

3

+sin（x+

π

3

）sin

π

3

=-

3 10

10

×

1

2

+

10

10

×

3

2

=

30 -3 10

20

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，考查三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用，突出考查兩角差的余弦，屬于中檔題．