Question

已知拋物線y=x²和三個點M（x₁,y₀）、P（0，y₀）(y₀≠x²₀,y₀＞0),過點M的一條直線交拋物線于A、B兩點，AP、BP的延長線分別交拋物線于點E、F.

（1）證明E、F、N三點共線;

（2）如果A、B、N四點共線，問：是否存在y₀，使以線段AB為直徑的圓與拋物線有異于A、B的交點？如果存在，求出y₀的取值范圍，并求出該交點到直線AB的距離；若不存在，請說明理由.

Answer 1

（1）證明：設(shè)，

則直線的方程：

即：

因在上，所以①   

又直線方程：

由得：

所以     

同理，

所以直線的方程：   

令得

將①代入上式得，即點在直線上

所以三點共線                           

（2）解：由已知共線，所以 

以為直徑的圓的方程：

由得

所以（舍去），        

要使圓與拋物線有異于的交點，則

所以存在，使以為直徑的圓與拋物線有異于的交點 

則，所以交點到的距離為