Question

如圖，已知△OFQ的面積為S,且·=1.

(1)若＜S＜2,求向量與的夾角θ的取值范圍;

(2)設(shè)||=c(c≥2),S=c,若以O(shè)為中心，F(xiàn)為一個焦點(diǎn)的橢圓經(jīng)過點(diǎn)Q，當(dāng)||取最小值時，求橢圓的方程.

Answer 1

解：(1)由已知，得

   

    ∴tanθ=2S.

    ∵＜S＜2,

    ∴1＜tanθ＜4.

    則＜θ＜arctan4.

(2)以O(shè)為原點(diǎn)，在直線為x軸建立平面直角坐標(biāo)系.

設(shè)橢圓方程為+=1(a＞b＞0),Q(x,y).

    =(c,0),則=(x-c,y).

    ∵||·y=c,

    ∴y=.

    又∵·=c(x-c)=1,

    ∴x=c+.

    則||==(c≥2).

    可以證明：當(dāng)c≥2時，函數(shù)t=c+為增函數(shù)，∴當(dāng)c=2時，

    ||_min==,

    此時Q(,).

    將Q的坐標(biāo)代入橢圓方程，得

    解得

    ∴橢圓方程為+=1.