Question

（2013•�？诙�模）橢圓C以?huà)佄锞�(xiàn)y²=8x的焦點(diǎn)為右焦點(diǎn)，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（2，3）．
（Ⅰ）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）若F₁，F(xiàn)₂分別為橢圓的左右焦點(diǎn)，求∠F₁AF₂的角平分線(xiàn)所在直線(xiàn)的方程．

Answer 1

分析：（Ⅰ）設(shè)橢圓C的方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，由拋物線(xiàn)焦點(diǎn)可求橢圓焦點(diǎn)，根據(jù)拋物線(xiàn)定義可求得a，由b²=a²-c²可求得b；
（Ⅱ）易求直線(xiàn)AF₁的方程、直線(xiàn)AF₂的方程，設(shè)（x，y）為∠F₁AF₂的角平分線(xiàn)上任意一點(diǎn)，則該點(diǎn)到兩直線(xiàn)距離相等，可得方程，且∠F₁AF₂的角平分線(xiàn)所在直線(xiàn)的斜率為正數(shù)，化簡(jiǎn)即可得到所求直線(xiàn)方程；

解答：解：（Ⅰ）設(shè)橢圓C的方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，
易知拋物線(xiàn)y²=8x的焦點(diǎn)為（2，0），所以橢圓的左右焦點(diǎn)分別為（-2，0），（2，0），
根據(jù)橢圓的定義2a=

(2+2)2+(3-0)2

+

(2-2)2+(3-0)2

=8，
所以a=4，所以b²=4²-2²=12，
所以橢圓C的方程為

x2

16

+

y2

12

=1．
（ II）由（Ⅰ）知F₁（-2，0），F(xiàn)₂（2，0），
所以直線(xiàn)AF₁的方程為y=

3

4

(x+2)，即3x-4y+6=0，直線(xiàn)AF₂的方程為x=2，
所以∠F₁AF₂的角平分線(xiàn)所在直線(xiàn)的斜率為正數(shù)．
設(shè)（x，y）為∠F₁AF₂的角平分線(xiàn)上任意一點(diǎn)，則有

|3x-4y+6|

5

=|x-2|，
由斜率為正數(shù)，整理得y=2x-1，這就是所求∠F₁AF₂的角平分線(xiàn)所在直線(xiàn)的方程．

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線(xiàn)方程、橢圓的定義及方程、角平分線(xiàn)及點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式，涉及知識(shí)點(diǎn)較多，綜合性較強(qiáng)．