Question

已知l₁、l₂是過點(diǎn)P（-

2

，0）的兩條互相垂直的直線，且l₁、l₂與雙曲線y²-x²=1各有兩個(gè)交點(diǎn)，分別為A₁、B₁和A₂、B₂．
（1）求l₁的斜率k₁的取值范圍；
（2）若|A₁B₁|=

5

|A₂B₂|，求l₁、l₂的方程．

Answer 1

分析：（1）顯然l₁、l₂斜率都存在，設(shè)l₁的斜率為k₁，得到l₁、l₂的方程，將直線方程與雙曲線方程聯(lián)立方程組，消去y得到關(guān)于x的二次方程，再結(jié)合根的判別即可求得斜率k₁的取值范圍；
（2）利用（1）中得到的關(guān)于x的二次方程，結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系，利用弦長(zhǎng)公式列關(guān)于k的方程，解方程即可求得k值，從而求出l₁、l₂的方程．

解答：解：（1）顯然l₁、l₂斜率都存在，否則l₁、l₂與曲線不相交．設(shè)l₁的斜率為k₁，則l₁的方程為y=k₁（x+

2

）．
聯(lián)立得y=k₁（x+

2

），y²-x²=1，
消去y得
（k₁²-1）x²+2

2

k₁²x+2k₁²-1=0．①
根據(jù)題意得k₁²-1≠0，②
△₁＞0，即有12k₁²-4＞0．③
完全類似地有

1

k 2 1

-1≠0，④
△₂＞0，即有12•

1

k 2 1

-4＞0，⑤
從而k₁∈（-

3

，-

3

3

）∪（

3

3

，

3

）且k₁≠±1．
（2）由弦長(zhǎng)公式得
|A₁B₁|=

1+ k 2 1

12 k 2 1 -4 ( k 2 1 -1)2

．⑥
完全類似地有
|A₂B₂|=

1+ 1 k 2 1

12-4 k 2 1 ( k 2 1 -1)2

．⑦
∵|A₁B₁|=

5

|A₂B₂|，
∴k₁=±

2

，k₂=

.

+

2

2

．從而
l₁：y=

2

（x+

2

），l₂：y=-

2

2

（x+

2

）或l₁：y=-

2

（x+

2

），l₂：y=

2

2

（x+

2

）．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了直線與圓錐曲線的交點(diǎn)，直線和圓錐曲線的位置是解析幾何中的一個(gè)重點(diǎn)內(nèi)容，也是一個(gè)難點(diǎn)，在高考試題中占有一席之地，屬于中檔題．