Question

若函數(shù)是R上的奇函數(shù)
（1）求a的值，并利用定義證明函數(shù)f（x）在R上單調(diào)遞增；
（2）解不等式：．

Answer 1

解：（1）∵f（x）=是R上的奇函數(shù)，
∴f（0）=0，解得a=2…2分
∴f（x）=．
證明：設(shè)x₁＜x₂，則f（x₁）-f（x₂）=-…3分
=…5分
∵y=2^x是R上的增函數(shù)，
∴-＜0，而（1+）（1+）＞0，
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂），
∴函數(shù)f（x）在R上單調(diào)遞增…7分
（2）由f（-2）+f（）≥0，且f（x）是R上的奇函數(shù)可得：f（）≥f（2）…8分
又f（x）在R上單調(diào)遞增，
∴≥2…9分
解得0＜x≤8…11分
∴不等式的解集是{x|0＜x≤8}…12分
分析：（1）依題意，f（0）=0可求得a，從而可得f（x）的解析式，設(shè)x₁＜x₂，作差f（x₁）-f（x₂），化積判斷符號即可結(jié)論；
（2）利用f（x）為R上的奇函數(shù)，且在R上單調(diào)遞增，將f（-2）+f（）≥0轉(zhuǎn)化為≥2，解之即可．
點評：本題考查函數(shù)單調(diào)性的證明，考查函數(shù)奇偶性與單調(diào)性的綜合應(yīng)用，考查分析與推理運算能力，屬于難題．