Question

已知向量

α

=(

3

sinωx，cosωx），

β

=(cosωx，cosωx)，記函數(shù)f（x）=

α

•

β

，已知f（x）的周期為π．
（1）求正數(shù)ω之值；
（2）當(dāng)x表示△ABC的內(nèi)角B的度數(shù)，且△ABC三內(nèi)角A、B、C滿sin²B=sinA•sinC，試求f（x）的值域．

Answer 1

分析：（1）由題設(shè)條件

α

=(

3

sinωx，cosωx），

β

=(cosωx，cosωx)，記函數(shù)f（x）=

α

•

β

，得到f(x)=

3?

sinωxcosωx+cos 2ωx，進(jìn)行恒等變形，得到f（x）=sin(2ωx+

π

6

)+

1

2

，再由函數(shù)的周期公式求出正數(shù)ω之值；
（2）且△ABC三內(nèi)角A、B、C滿sin²B=sinA•sinC，得出b²=ac，結(jié)合余弦定理求出cosB的取值范圍，即得函數(shù)的定義域，再求f（x）的值域

解答：解：（1）f(x)=

3

sinωxcosωx+cos 2ωx=

3

2

sin2ωx+

1+cos2ωx

2

=sin(2ωx+

π

6

)+

1

2

，
因?yàn)?span id="m7r7oj6" class="MathJye">T=π=

2π

2ω

得ω=1．
（2）由（1）得f(x)=sin(2x+

π

6

)+

1

2

，由sin²B=sinA•sinC得b²=ac
又b²=a²+c²-2accosB，∴cosB=

a2+c2-b2

2ac

≥

2ac-ac

2ac

=

1

2

，∴0＜B≤

π

3

，即o＜x≤

π

3

，∴

π

6

＜2x+

π

6

≤

5π

6

，∴f(x)∈[1，

3

2

]．

點(diǎn)評(píng)：本題考查余弦定理的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是熟練掌握三角恒等變換公式以及三角函數(shù)周期公式，余弦定理，本題是三角函數(shù)在高考中的經(jīng)典題型，綜合考查了三角函數(shù)中的多個(gè)知識(shí)點(diǎn)，綜合性強(qiáng)，考查了恒等變形的能力，轉(zhuǎn)化的能力，及計(jì)算能力