Question

已知二次函數(shù)f（x）=ax²-（2a+2）x+4（a＞0）
（1）若對(duì)于任意實(shí)數(shù)x∈R，f（x）≥0恒成立，求a的值；       
（2）解關(guān)于x的不等式f（x）≥0．

Answer 1

分析：（1）由條件得 ax²-（2a+2）x+4≥0的解集為R，根據(jù)判別式△≤0，解得a的值．
（2）由ax²-（2a+2）x+4=0求得方程的根x₁、x₂，再根據(jù)x₁ 和x₂ 的大小關(guān)系，求得一元二次不等式的解集．

解答：解：（1）由條件得 a＞0，不等式ax²-（2a+2）x+4≥0的解集為R，故有△=（2a+2）²-16a≤0，
化簡(jiǎn)可得 4 （a-1）²≤0，解得a=1．
（2）由f（x）=ax²-（2a+2）x+4=0，可得 （x-2）（ax-2）=0，解得 x1=2，x2=

2

a

．
當(dāng)0＜a＜1時(shí)，

2

a

＞2，不等式f（x）≥0的解集是(-∞，2]∪[

2

a

，+∞)；
當(dāng)a=1時(shí)，

2

a

=2，不等式f（x）≥0的解集是R；
當(dāng)a＞1時(shí)，

2

a

＜2，不等式f（x）≥0的解集是(-∞，

2

a

]∪[2，+∞)．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查二次函數(shù)的性質(zhì)，一元二次不等式的解法，體現(xiàn)了分類(lèi)討論的數(shù)學(xué)思想，屬于基礎(chǔ)題．