Question

已知函數(shù)f(x)=

ax-1(x＞0) log 1 2 (x+1)(-1＜x≤0)

且f[f(-

3

4

)]＞3，在各項為正的數(shù)列{a_n}中，a1=2，an+1=f(an+

1

2

)，{an}的前n項和為S_n，若S_n=126，則n=

6

．

Answer 1

分析：由題意可得，f[f（-

3

4

）]=2a-1可求a，進而可求f（x），由a₁=2可得an+

1

2

＞0，從而有an+1=f(an+

1

2

)=2（an+

1

2

）-1=2a_n，利用等比數(shù)列的求和公式可求s_n，結(jié)合已知可求n

解答：解：由題意可得，f[f（-

3

4

）]=f[log

1

2

(-

3

4

 +1)]=f（2）=2a-1=3
∴a=2
∴f(x)=

2x-1，x＞0 log 1 2 (x+1)，-1＜x≤0

∵a₁=2
∴an+

1

2

＞0
∴an+1=f(an+

1

2

)=2（an+

1

2

）-1=2a_n
∴數(shù)列{a_n}是以2為首項，以2為公比的等比數(shù)列
∴S_n=

2(1-2n)

1-2

=2ⁿ⁺¹-2=126
∴2ⁿ⁺¹=128
∴n=6
故答案為6

點評：本題以函數(shù)的函數(shù)值的求解為載體，主要考查了利用數(shù)列的遞推關(guān)系構(gòu)造等比數(shù)列，進而求解數(shù)列的和，屬于函數(shù)與數(shù)列知識的綜合應用．