Question

設(shè)向量

a

=(cos

3θ

2

，  sin

3θ

2

)，

b

=(cos

θ

2

，  -sin

θ

2

)，其中θ∈[0，  

π

3

]．
（1）求

a • b

| a + b |

的最大值和最小值；
（2）若|k

a

+

b

|=

3

|

a

-k

b

|，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）利用向量的數(shù)量積公式求出

a

•

b

，利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算和向量模的平方等于向量的平方求出

a • b

| a + b |

的值
（2）將已知等式平方，得到關(guān)于k，θ的等式，利用三角函數(shù)的有界性，列出關(guān)于k的不等式，解不等式求出k的范圍．

解答：解：（1）

a

•

b

=(cos

3θ

2

，  sin

3θ

2

)•(cos

θ

2

，  -sin

θ

2

)=cos

3θ

2

cos

θ

2

-sin

3θ

2

sin

θ

2

=cos2θ．
|

a

+

b

|=

( a + b )2

=2cosθ
于是

a • b

| a + b |

=

cos2θ

2cosθ

=

2cos2θ-1

2cosθ

=cosθ-

1

2cosθ

．
因?yàn)?span id="p2jawai" class="MathJye" mathtag="math" style="whiteSpace:nowrap;wordSpacing:normal;wordWrap:normal">θ∈[0，  

π

3

]，所以cosθ∈[

1

2

，  1]．
故當(dāng)cosθ=

1

2

即θ=

π

3

時(shí)，

a • b

| a + b |

取得最小值-

1

2

；當(dāng)cosθ=1即θ=0時(shí)，

a • b

| a + b |

取得最大值

1

2

．
（2）由|k

a

+

b

|=

3

|

a

-k

b

|得
|k

a

+

b

|2=3|

a

-k

b

|2?k2+1+2kcos2θ=3(1+k2)-6kcos2θ?cos2θ=

k2+1

4k

．
因?yàn)?span id="yrkfcnz" class="MathJye" mathtag="math" style="whiteSpace:nowrap;wordSpacing:normal;wordWrap:normal">θ∈[0，  

π

3

]，所以-

1

2

≤cos2θ≤1．
不等式-

1

2

≤

k2+1

4k

≤1?

(k-1)2 4k ≥0    k2-4k+1 4k ≤0

解得2-

3

≤k≤2+

3

或k=-1，
故實(shí)數(shù)k的取值范圍是[2-

3

，  2+

3

]∪{-1}．

點(diǎn)評：解決向量的數(shù)量積問題：要考慮數(shù)量積的坐標(biāo)形式的公式及向量的模、夾角形式的公式；解決有關(guān)向量的模的問題，一般將向量的模平方：利用向量模的平方等于向量的平方，再利用向量的運(yùn)算法則解決．