Question

如圖，四棱錐S-ABCD的底面是矩形，SA⊥底面ABCD，P為BC邊的中點(diǎn)，SB與平面ABCD所成的角為45°，且AD=2，SA=1．
（Ⅰ）求證：PD⊥平面SAP；
（Ⅱ）求二面角A-SD-P的余弦的大小．

Answer 1

分析：（Ⅰ）欲證PD⊥平面SAP，根據(jù)直線與平面垂直的判定定理可知只需證PD與平面SAP內(nèi)兩相交直線垂直，根據(jù)題意可知∠SBA是SB與平面ABCD所成的角，根據(jù)勾股定理可知AP⊥PD，根據(jù)線面垂直的性質(zhì)可知SA⊥PD，而SA∩AP=A滿足定理所需條件；
（Ⅱ）設(shè)Q為AD的中點(diǎn)，連接PQ，根據(jù)PQ⊥SD，SD⊥PR，則∠PRQ是二面角A-SD-P的平面角，在Rt△PRQ中，求出二面角A-SD-P的余弦即可．

解答：解：（Ⅰ）證明：因?yàn)镾A⊥底面ABCD，
所以，∠SBA是SB與平面ABCD所成的角（1分）
由已知∠SBA=45°，所以AB=SA=1易求得，AP=PD=

2

，（3分）
又因?yàn)锳D=2，所以AD²=AP²+PD²，所以AP⊥PD．（4分）
因?yàn)镾A⊥底面ABCD，PD?平面ABCD，
所以SA⊥PD，（5分）
由于SA∩AP=A所以PD⊥平面SAP．（6分）

（Ⅱ）設(shè)Q為AD的中點(diǎn)，連接PQ，（7分）
由于SA⊥底面ABCD，且SA?平面SAD，
則平面SAD⊥平面PAD（8分）
∵PQ⊥AD，∴PQ⊥平面SAD，∵SD?平面SAD，∴PQ⊥SD．
過(guò)Q作QR⊥SD，垂足為R，連接PR，則SD⊥面QPR．
又PR?面QPR，∴SD⊥PR，∴∠PRQ是二面角A-SD-P的平面角．（10分）
容易證明△DRQ∽△DAS，則

QR

SA

=

DQ

SD

．
因?yàn)镈Q=1，SA=1，SD=

5

，
所以QR=

DQ

SD

•SA=

1

5

．（12分）
在Rt△PRQ中，因?yàn)镻Q=AB=1，PR=

QR2+PQ2

=

30

5

，
所以cos∠PRQ=

RQ

PR

=

6

6

．（13分）
所以二面角A-SD-P的余弦為

6

6

．（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了線面垂直的判定，以及與二面角有關(guān)的立體幾何綜合題，同時(shí)考查了空間想象能力以及轉(zhuǎn)化與劃歸的思想，屬于中檔題．