Question

定義在R上的函數(shù)f（x）滿足：對(duì)于任意的x，y∈R，都有f（x+y）=f（x）+f（y）-2011且當(dāng)x＞0時(shí)，有f（x）＞2011，設(shè)M、N分別為f（x）在[-2012，2012]的最大值與最小值，則M+N的值為（　�。�

A．4022

B．4024

C．2011

D．2012

Answer 1

分析：將f（x+y）=f（x）+f（y）-2011變形為f（x+y）-f（y）=f（x）-2011，令x＞0，結(jié)合“當(dāng)x＞0時(shí)，有f（x）＞2011”分析可得，f（x）在[-2011，2011]上為增函數(shù)，則有M=f（2011），N=f（-2011）；在f（x+y）=f（x）+f（y）-2011中，令x=y=0可得，f（0）=2011，再令x=2011，y=-2011可得，f（2011）+f（-2011）=4022，又由M=f（2011），N=f（-2011），代換可得答案．

解答：解：根據(jù)題意，f（x+y）=f（x）+f（y）-2011⇒f（x+y）-f（y）=f（x）-2011，
當(dāng)x＞0時(shí)，有（x+y）-y＞0，此時(shí)f（x+y）-f（y）=f（x）-2011＞0，
則f（x）在[-2011，2011]上為增函數(shù)，
故M=f（2011），N=f（-2011）；
對(duì)于f（x+y）=f（x）+f（y）-2011，
令x=y=0可得，f（0）=2f（0）-2011，即f（0）=2011，
再令x=2011，y=-2011可得，f（0）=f（2011）+f（-2011）-2011，
即f（2011）+f（-2011）=f（0）+2011=4022，
又由M=f（2011），N=f（-2011），
則M+N=4022，
故選A．

點(diǎn)評(píng)：本題考查抽象函數(shù)的運(yùn)用，解此類題目一般用特殊值法，解本題關(guān)鍵要判斷出f（x）的單調(diào)性，進(jìn)而得到M、N的值．