Question

如圖，在多面體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，上、下底面平行且均為矩形，相對(duì)的側(cè)面與同一底面所成的二面角大小相等，側(cè)棱延長(zhǎng)后相交于E，F(xiàn)兩點(diǎn)，上、下底面矩形的長(zhǎng)、寬分別為c，d與a，b，且a＞c，b＞d，兩底面間的距離為h．
（Ⅰ）求側(cè)面ABB₁ A₁與底面ABCD所成二面角的大��；
（Ⅱ）證明：EF∥面ABCD．

Answer 1

分析：（Ⅰ）過(guò)B₁C₁作底面ABCD的垂直平面，交底面于PQ，過(guò)B₁作B₁G⊥PQ，垂足為G，根據(jù)二面角平面角的定義可知∠B₁PG為所求二面角的平面角，過(guò)C₁作C₁H⊥PQ，垂足為H，根據(jù)相對(duì)側(cè)面與底面所成二面角的大小相等，得到四邊形B₁PQC₁為等腰梯形，在三角形B₁PG中求出此角即可．
（Ⅱ）欲證EF∥面ABCD，根據(jù)直線與平面平行的判定定理可知只需證EF與面ABCD內(nèi)一直線平行即可，根據(jù)線面平行的判定定理可知AB∥面CDEF，而EF是面ABFE與面CDEF的交線，則AB∥EF，AB是平面ABCD內(nèi)的一條直線，EF在平面ABCD外，滿足定理所需條件．

解答：解：（Ⅰ）過(guò)B₁C₁作底面ABCD的垂直平面，
交底面于PQ，過(guò)B₁作B₁G⊥PQ，垂足為G．
∵平面ABCD∥平面A₁B₁C₁D₁，∠A₁B₁C₁=90°
∴AB⊥PQ，AB⊥B₁P．
∴∠B₁PG為所求二面角的平面角．
過(guò)C₁作C₁H⊥PQ，垂足為H．
由于相對(duì)側(cè)面與底面所成二面角的大小相等，
故四邊形B₁PQC₁為等腰梯形．
∴PG=

1

2

(b-d)，
又B₁G=h，
∴tan∠B1PG=

2h

b-d

(b＞d)，
∴∠B1PG=arctan

2h

b-d

，
即所求二面角的大小為arctan

2h

b-d

．
（Ⅱ）證明：∵AB，CD是矩形ABCD的一組對(duì)邊，有AB∥CD，
又CD是面ABCD與面CDEF的交線，
∴AB∥面CDEF．
∵EF是面ABFE與面CDEF的交線，
∴AB∥EF．
∵AB是平面ABCD內(nèi)的一條直線，EF在平面ABCD外，
∴EF∥面ABCD．

點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查直線、平面的位置關(guān)系，考查二面角的度量的基本知識(shí)，考查空間想象能力和邏輯推理能力．