Question

[理]已知函數(shù)f（x）=ax-

b

x

-2lnx，f（1）=0．
（1）若函數(shù)f（x）在其定義域內(nèi)為單調(diào)函數(shù)，求a的取值范圍；
（2）若函數(shù)f（x）的圖象在x=1處的切線的斜率為0，且a_n+1=f′（

1

an-n+1

）-n²+1，已知a₁=4，求證：a_n≥2n+2．

Answer 1

分析：（1）先由f（1）=0得出a，b的關(guān)系式，再求出f（x）的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)f′（x）＞0求得的區(qū)間是單調(diào)增區(qū)間，f′（x）＜0求得的區(qū)間是單調(diào)減區(qū)間，根據(jù)若函數(shù)f（x）在其定義域內(nèi)為單調(diào)函數(shù)得到：在（0，+∞）內(nèi)f′（x）恒大于等于0或恒小于等于0．最后對(duì)a分類討論即可求出a的取值范圍．
（2）先由題意求得f′（

1

an-n+1

）．對(duì)于關(guān)于自然數(shù)n的命題：a_n+1=f′（

1

an-n+1

）-n²+1，常用數(shù)學(xué)歸納法證明，

解答：解：（1）因?yàn)閒（1）=a-b=0，所以a=b，
所以f（x）=ax-

a

x

-2lnx，
所以f′（x）=a+

a

x2

-

2

x

．
要使函數(shù)f（x）在定義域（0，+∞）內(nèi)為單調(diào)函數(shù)，
則在（0，+∞）內(nèi)f′（x）恒大于等于0或恒小于等于0．
當(dāng)a=0時(shí)，則f′（x）=-

2

x

＜0在（0，+∞）內(nèi)恒成立；適合題意．
當(dāng)a＞0時(shí)，要使f′（x）=a（

1

x

-

1

a

）²+a-

1

a

≥0恒成立，則a-

1

a

≥0，解得a≥1；
當(dāng)a＜0時(shí)，由f′（x）=a+

a

x2

-

2

x

＜0恒成立，適合題意．
所以a的取值范圍為（-∞，0]∪[1，+∞）．
（2）根據(jù)題意得：f′（1）=0，即a+a-2=0，得a=1，
所以f′（x）=（

1

x

-1）²，
于是a_n+1=f′（

1

an-n+1

）-n²+1=（a_n-n）²-n²+1
=a_n²-2na_n+1．
用數(shù)學(xué)歸納法證明如下：
當(dāng)n=1時(shí)，a₁=4=2×1+2，
當(dāng)n=2時(shí)，a₂=9＞2×2+2；
假設(shè)當(dāng)n=k（k≥2且k∈N^*）時(shí)，不等式a_k＞2k+2成立，即a_k-2k＞2成立，
則當(dāng)n=k+1時(shí)，a_k+1=a_k（a_k-2k）+1＞（2k+2）×2+1=4k+5＞2（k+1）+2，
所以當(dāng)n=k+1，不等式也成立，
綜上得對(duì)所有n∈N^*時(shí)，都有a_n≥2n+2．

點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式、函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用、導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力、化歸與轉(zhuǎn)化思想．屬于基礎(chǔ)題．?dāng)?shù)學(xué)歸納法的基本形式：設(shè)P（n）是關(guān)于自然數(shù)n的命題，若：1°P（n₀）成立（奠基）；2°假設(shè)P（k）成立（k≥n₀），可以推出P（k+1）成立（歸納），則P（n）對(duì)一切大于等于n₀的自然數(shù)n都成立．