Question

已知函數(shù).

（1）當(dāng)時(shí)，求的極值；（2）當(dāng)時(shí)，討論的單調(diào)性；

（3）若對任意的恒有成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

 

Answer 1

【答案】

（1）極小值，無極大值；（2）參考解析；（3）

【解析】

試題分析：（1）當(dāng)時(shí).函數(shù)f(x)是一個(gè)對數(shù)函數(shù)和分式的和的形式.通過求導(dǎo)可以求出函數(shù)的有極小值，但沒極大值.

（2）當(dāng)時(shí).通過求導(dǎo)可得導(dǎo)函數(shù)的兩個(gè)零點(diǎn)，在定義域上分別對兩個(gè)零點(diǎn)的大小討論分類.從而得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.

（3）由對任意的恒有成立.首先要求出函數(shù)f(x)在[1,3]上且的最大值.從而對于任意使得恒成立即可.再通過分離變量即可得到結(jié)論.本題前兩小題較為基礎(chǔ)但第二小題的分類做到清晰不容易，第三小題難度較大.

試題解析：（1）當(dāng)時(shí)，      1分

由,解得.                                 2分

∴在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù).                3分

∴的極小值為，無極大值.                    4分

（2）.   6分

①當(dāng)時(shí)，在和上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)；   7分

②當(dāng)時(shí)，在上是減函數(shù)；                       8分

③當(dāng)時(shí)，在和上是減函數(shù)，在上是增函數(shù).     9分

（3）當(dāng)時(shí)，由（2）可知在上是減函數(shù)，

∴.               10分

由對任意的恒成立，

∴                         11分

即對任意恒成立，

即對任意恒成立，                          12分

由于當(dāng)時(shí)，，∴.            14分

考點(diǎn)：1.函數(shù)的極值問題.2.含參函數(shù)的單調(diào)性.3.不等式的恒成立問題.4.函數(shù)的最值問題.