Question

（本小題滿分14分）

    已知曲線經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(2,1)，過(guò)A作傾斜角互補(bǔ)的兩條不同直線.

（Ⅰ）求拋物線的方程及準(zhǔn)線方程；

（Ⅱ）當(dāng)直線與拋物線相切時(shí)，求直線與拋物線所圍成封閉區(qū)域的面積；

（Ⅲ）設(shè)直線分別交拋物線于B，C兩點(diǎn)（均不與A重合），若以線段BC為直徑的圓與拋物線的準(zhǔn)線相切，求直線BC的方程.

 

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）拋物線的方程為，其準(zhǔn)線方程為.

（Ⅱ）直線與拋物線所圍成封閉區(qū)域的面積為:

                                      

（Ⅲ）BC的方程為，即.

【解析】.解：（Ⅰ）由于A(2,1)在拋物線上， 所以  ，即.    ……………….2分

         故所求拋物線的方程為，其準(zhǔn)線方程為.      ……………….3分

（Ⅱ）當(dāng)直線與拋物線相切時(shí)，由，可知直線的斜率為1，其傾斜角為，所以直線的傾斜角為，故直線的斜率為，所以的方程為  …….4分

將其代入拋物線的方程，得  , 解得  ,    …….5分

所以直線與拋物線所圍成封閉區(qū)域的面積為:

                                        ……………….6分

   ……………….8分

（Ⅲ）不妨設(shè)直線AB的方程為，                                      ……………….9分

      由

      得,          ……………….10分

      易知該方程有一個(gè)根為2，所以另一個(gè)根為，

      所以點(diǎn)B的坐標(biāo)為,

      同理可得C點(diǎn)坐標(biāo)為,                 ……………….11分

      所以

,                           ……………….12分

      線段BC的中點(diǎn)為，因?yàn)橐?i>BC為直徑的圓與準(zhǔn)線相切，

      所以  ,由于，  解得  .     …………….13分

      此時(shí)，點(diǎn)B的坐標(biāo)為，點(diǎn)C的坐標(biāo)為，

      直線BC的斜率為，

      所以，BC的方程為，即.   …….14分