Question

甲、乙、丙三人獨(dú)立參加入學(xué)考試合格的概率分別為

2

3

，

1

2

，

2

5

求：①三人中恰有兩人合格的概率；
②三人中至少有一人合格的概率．
③合格人數(shù)ξ的數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

分析：（1）由題意可得：三個(gè)人中恰有2個(gè)合格，包括三種情況即只有甲乙合格、只有甲丙合格、只有乙丙合格，并且這三種情況是互斥的，再根據(jù)相互獨(dú)立事件的概率乘法公式可得答案．
（2）由于事件“三人中至少有一人合格”與事件“三人都沒有合格”是對(duì)立事件，所以根據(jù)題意求出事件“三人都沒有合格的概率”，再求出事件“三人中至少有一人合格”的概率．
（3）由題意可得：合格人數(shù)ξ可能取的值為：0，1，2，3，再結(jié)合題中的條件與相互獨(dú)立事件的概率乘法公式分別求出它們發(fā)生的概率，進(jìn)而求出ξ的數(shù)學(xué)期望．

解答：解：（1）由題意知本題是一個(gè)相互獨(dú)立事件，并且是研究同時(shí)發(fā)生的概率．
三個(gè)人中恰有2個(gè)合格，包括三種情況即只有甲乙合格、只有甲丙合格、只有乙丙合格，并且這三種情況是互斥的，
所以三人中恰有兩人合格的概率

2

3

×

1

2

×

3

5

+

2

3

×

1

2

×

2

5

+

1

3

×

1

2

×

2

5

=

2

5

．
所以三人中恰有兩人合格的概率為

2

5

．
（2）因?yàn)槭录�“三人中至少有一人合格”與事件“三人都沒有合格”是對(duì)立事件，
所以它們的概率之和為1．
因?yàn)槿�人都沒有合格的概率為：

1

3

×

1

2

×

3

5

=

1

10

，
所以三人中至少有一人合格的概率為

9

10

．
（3）由題意可得：合格人數(shù)ξ可能取的值為：0，1，2，3，
所以P（ξ=0）=

1

3

×

1

2

×

3

5

=

1

10

，P（ξ=1）=

2

3

×

1

2

×

3

5

+

1

3

×

1

2

×

2

5

+

1

3

×

1

2

×

3

5

=

11

30

，
P（ξ=2）=

2

3

×

1

2

×

3

5

+

2

3

×

1

2

×

2

5

+

1

3

×

1

2

×

2

5

=

2

5

，P（ξ=3）=

2

3

×

1

2

×

2

5

=

4

30

=

2

15

所以合格人數(shù)ξ的期望為：E（ξ）=0×

1

10

+1×

11

30

+2×

2

5

+3×

2

15

=

47

30

．

點(diǎn)評(píng)：解決此類問題的關(guān)鍵是熟練掌握相互獨(dú)立事件的概率乘法公式與對(duì)立事件的定義，以及離散型隨機(jī)變量的期望，此題屬于中檔題．